时间空间复杂度入门

考虑到这是第一章，我不会对时空复杂度做面面俱到的讲解，详细的 算法时空复杂度分析实用指南 安排在你学完几种常见算法的核心框架之后，那时候你的知识储备可以轻松理解时空复杂度分析的各种场景。

因为本章后面的内容会带你实现常见的排序算法和数据结构，我会分析它们的时间复杂度，所以这里还是要提前介绍一下时间/空间复杂度的概念，以及分析时间/空间复杂度的简化方法，避免初学者疑惑。

对于初学者，你只需要记住以下几点：

1、时空复杂度用 Big O 表示法表示（类似 $O(1), O(n^2), O(logn)$ 等）。它们都是估计值，不需要精确计算，且仅保留最高增长项。

比方说 $O(2n^2 + 3n + 1)$ 等同于 $O(n^2)$，$O(1000n + 1000)$ 等同于 $O(n)$。

2、时间复杂度用来衡量一个算法的执行效率，空间复杂度用来衡量算法的内存消耗，它们都是越小越好。

比方说时间复杂度 $O(n)$ 的算法比 $O(n^2)$ 的算法执行效率高，空间复杂度 $O(1)$ 的算法比 $O(n)$ 的算法内存消耗小。

当然，一般我们要说明这个 n 代表什么，比如 n 代表输入的数组的长度。

3、如何估算？现在你可以简单理解：时间复杂度就看 for 循环的嵌套层数；空间复杂度就看算法申请了多少空间来存储数据。

举几个例子来说比较直观。

示例一，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$：

// 输入一个整数数组，返回所有元素的和
int getSum(int[] nums) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

算法包含一个 for 循环遍历 nums 数组，所以时间复杂度是 $O(n)$，其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们的算法只使用了一个 sum 变量，这个 nums 是题目给的输入，不算在我们算法的空间复杂度里面，所以空间复杂度是 $O(1)$。

示例二，时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(1)$：

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
boolean hasTargetSum(int[] nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

算法包含两个 for 循环嵌套，所以时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们的算法只使用了 i, j 两个变量，这是常数级别的空间消耗，所以空间复杂度是 $O(1)$。

你也许会说，内层的 for 循环并没有遍历整个数组，且有可能提前 return，算法实际执行的次数应该是小于 n^2 的，时间复杂度还是 $O(n^2)$ 吗？

是的，还是 $O(n^2)$。前面说了 Big O 表示法是估计值，不需要精确计算。具体到不同的输入，算法的实际执行次数确实会小于 n^2，但我们不需要关心。

我们只需要知道，看到嵌套 for 循环，时间复杂度就是 $O(n^2)$。

示例三，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$：

void exampleFn(int n) {
    int[] nums = new int[n];
}

这个函数中创建了一个大小为 n 的数组，所以空间复杂度是 $O(n)$，但是要知道申请数组空间及初始化数组也需要时间，所以时间复杂度也是 $O(n)$。

示例四，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$：

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
int[] squareArray(int[] nums) {
    int[] res = new int[nums.length];
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i] * nums[i];
    }
    return res;
}

算法初始化 res 数组需要 $O(n)$ 的时间复杂度，包含一个 for 循环，时间复杂度也是 $O(n)$，总的时间复杂度是还是 $O(n)$ 其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们声明了一个新的数组 res，这个数组的长度和 nums 数组一样，所以空间复杂度是 $O(n)$。

好了，初学者明白上面这些基本的时间、空间复杂度分析暂时就够用了，继续往下学习吧。