时间空间复杂度入门

考虑到这是第一章，我不会对时空复杂度做面面俱到的讲解，详细的 算法时空复杂度分析实用指南 安排在你学完几种常见算法的核心框架之后，那时候你的知识储备可以轻松理解时空复杂度分析的各种场景。

因为本章后面的内容会带你实现常见的排序算法和数据结构，我会分析它们的时间复杂度，所以这里还是要提前介绍一下时间/空间复杂度的概念，以及分析时间/空间复杂度的简化方法，避免初学者疑惑。

对于初学者，你只需要记住以下几点：

1、时空复杂度用 Big O 表示法表示（类似 $O(1), O(n^2), O(logn)$ 等）。它们都是估计值，不需要精确计算，常数项和低增长项都可以忽略，仅需保留最高增长项。

比方说 $O(2n^2 + 3n + 1)$ 等同于 $O(n^2)$，$O(1000n + 1000)$ 等同于 $O(n)$。

2、我们分析算法复杂度时，分析的是最坏情况的复杂度。这一点会在下面的示例中体现。

3、时间复杂度用来衡量一个算法的执行效率，空间复杂度用来衡量算法的内存消耗，它们都是越小越好。

比方说时间复杂度 $O(n)$ 的算法比 $O(n^2)$ 的算法执行效率高，空间复杂度 $O(1)$ 的算法比 $O(n)$ 的算法内存消耗小。

当然，一般我们要说明这个 $n$ 代表什么，比如 $n$ 代表输入的数组的长度。

4、如何估算？现在你可以简单理解：时间复杂度大部分情况下就是看 for 循环的最大嵌套层数；空间复杂度就看算法申请了多少空间来存储数据。

举几个例子来说比较直观。

时间/空间复杂度案例分析

示例一，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$：

// 输入一个整数数组，返回所有元素的和
int getSum(int[] nums) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

// 输入一个整数数组，返回所有元素的和
int getSum(vector<int>& nums) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

# 输入一个整数数组，返回所有元素的和
def getSum(nums: List[int]) -> int:
    sum = 0
    for i in range(len(nums)):
        sum += nums[i]
    return sum

// 输入一个整数数组，返回所有元素的和
func getSum(nums []int) int {
    sum := 0
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        sum += nums[i]
    }
    return sum
}

// 输入一个整数数组，返回所有元素的和
var getSum = function(nums) {
    var sum = 0;
    for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

算法包含一个 for 循环遍历 nums 数组，所以时间复杂度是 $O(n)$，其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们的算法只使用了一个 sum 变量，这个 nums 是题目给的输入，不算在我们算法的空间复杂度里面，所以空间复杂度是 $O(1)$。

示例二，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$：

// 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
int sum(int n) {
    if (n % 10 != 0) {
        return -1;
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

// 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
int sum(int n) {
    if (n % 10 != 0) {
        return -1;
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

# 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
def sum(n: int) -> int:
    if n % 10 != 0:
        return -1
    sum = 0
    for i in range(n + 1):
        sum += i
    return sum

// 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
func sum(n int) int {
    if n%10 != 0 {
        return -1
    }
    sum := 0
    for i := 0; i <= n; i++ {
        sum += i
    }
    return sum
}

// 当 n 是 10 的倍数时，计算累加和，否则返回 -1
var sum = function(n) {
    if (n % 10 !== 0) {
        return -1;
    }
    var sum = 0;
    for (var i = 0; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

其实只有当 n 是 10 的倍数时，算法才会执行 for 循环，时间复杂度是 $O(n)$。其他情况下算法会直接返回，时间复杂度是 $O(1)$。

但是算法复杂度只考察最坏情况，所以这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(1)$。

示例三，时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(1)$：

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
boolean hasTargetSum(int[] nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
bool hasTargetSum(vector<int>& nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        for (int j = i + 1; j < nums.size(); j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

# 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
def hasTargetSum(nums: List[int], target: int) -> bool:
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if nums[i] + nums[j] == target:
                return True
    return False

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
func hasTargetSum(nums []int, target int) bool {
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        for j := i + 1; j < len(nums); j++ {
            if nums[i] + nums[j] == target {
                return true
            }
        }
    }
    return false
}

// 数组是否存在两个数，它们的和为 target？
var hasTargetSum = function(nums, target) {
    for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (var j = i + 1; j < nums.length; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] === target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

算法嵌套了两层 for 循环，所以时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 代表 nums 数组的长度。

我们的算法只使用了 i, j 两个变量，这是常数级别的空间消耗，所以空间复杂度是 $O(1)$。

你也许会说，内层的 for 循环并没有遍历整个数组，且有可能提前 return，算法实际执行的次数应该是小于 $n^2$ 的，时间复杂度还是 $O(n^2)$ 吗？

是的，还是 $O(n^2)$。具体到不同的输入，算法的实际执行次数确实会小于 $n^2$，但我们不需要关心这些细节，估算一个最坏情况的时间复杂度就可以了。

每层 for 循环在最坏情况下都是 $O(n)$ 的时间复杂度，套在一起，总的时间复杂度是 $O(n^2)$。

示例四，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$：

void exampleFn(int n) {
    int[] nums = new int[n];
}

void exampleFn(int n) {
    vector<int> nums(n);
}

def exampleFn(n: int):
    nums = [0] * n

func exampleFn(n int) {
    nums := make([]int, n)
}

function exampleFn(n) {
    let nums = new Array(n);
}

这个函数中创建了一个大小为 n 的数组，所以空间复杂度是 $O(n)$。

对于 Java 来说，new int[n] 这个操作会申请数组空间并将所有元素初始化为 0。内存申请操作的时间复杂度可以认为是 $O(1)$，但初始化所有元素的操作相当于一个隐藏的 for 循环，时间复杂度是 $O(n)$。所以总的时间复杂度是 $O(n)$。

时间复杂度并不仅仅体现在你看得到的 for 循环，每一行代码都可能有隐藏的时间复杂度。所以说要了解编程语言提供的常用数据结构实现原理，这是准确分析时间复杂度的基础。

示例五，时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$：

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
int[] squareArray(int[] nums) {
    int[] res = new int[nums.length];
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i] * nums[i];
    }
    return res;
}

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
vector<int> squareArray(vector<int>& nums) {
    vector<int> res(nums.size());
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        res[i] = nums[i] * nums[i];
    }
    return res;
}

# 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
def squareArray(nums: List[int]) -> List[int]:
    res = [0] * len(nums)
    for i in range(len(nums)):
        res[i] = nums[i] * nums[i]
    return res

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
func squareArray(nums []int) []int {
    res := make([]int, len(nums))
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        res[i] = nums[i] * nums[i]
    }
    return res
}

// 输入一个整数数组，返回一个新的数组，新数组的每个元素是原数组对应元素的平方
var squareArray = function(nums) {
    let res = new Array(nums.length);
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i] * nums[i];
    }
    return res;
}

算法初始化 res 数组需要 $O(n)$ 的时间复杂度，包含一个 for 循环，时间复杂度也是 $O(n)$，总的时间复杂度是还是 $O(n)$ 其中 n 代表 nums 数组的长度。

我们声明了一个新的数组 res，这个数组的长度和 nums 数组一样，所以空间复杂度是 $O(n)$。

好了，初学者明白上面这些基本的时间、空间复杂度分析暂时就够用了，继续往下学习吧。