如何高效寻找素数

素数的定义看起来很简单，如果一个数如果只能被 1 和它本身整除，那么这个数就是素数。

虽然素数的定义并不复杂，恐怕没多少人真的能把素数相关的算法写得高效。

比如力扣第 204 题「计数质数」，让你写这样一个函数：

// 返回区间 [2, n) 中有几个素数 
int countPrimes(int n)

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数

// 返回区间 [2, n) 中有几个素数 
int countPrimes(int n);

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数

# 返回区间 [2, n) 中有几个素数 
def countPrimes(n: int) -> int: 

# 比如 countPrimes(10) 返回 4
# 因为 2,3,5,7 是素数

// 返回区间 [2, n) 中有几个素数
func countPrimes(n int) int {
}

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数

// 返回区间 [2, n) 中有几个素数
var countPrimes = function(n) {
};

// 比如 countPrimes(10) 返回 4
// 因为 2,3,5,7 是素数

你会如何写这个函数？我想大家应该会这样写：

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrime(i)) count++;
    return count;
}

// 判断整数 n 是否是素数
boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (n % i == 0)
            // 有其他整除因子
            return false;
    return true;
}

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrime(i)) count++;
    return count;
}

// 判断整数 n 是否是素数
bool isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (n % i == 0)
            // 有其他整除因子
            return false;
    return true;
}

def countPrimes(n: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(2, n):
        if isPrime(i):
            count += 1
    return count

# 判断整数 n 是否是素数
def isPrime(n: int) -> bool:
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            # 有其他整除因子
            return False
    return True

func countPrimes(n int) int {
    count := 0
    for i := 2; i < n; i++ {
        if isPrime(i) {
            count++
        }
    }
    return count
}

// 判断整数 n 是否是素数
func isPrime(n int) bool {
    for i := 2; i < n; i++ {
        if n % i == 0 {
            // 有其他整除因子
            return false
        }
    }
    return true
}

var countPrimes = function(n) {
    var count = 0;
    for (var i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime(i)) count++;
    }
    return count;
};

var isPrime = function(n) {
    for (var i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i === 0) {
            // 有其他整除因子
            return false;
        }
    }
    return true;
}

这样写的话时间复杂度 O(n^2)，问题很大。首先你用 isPrime 函数来辅助的思路就不够高效；而且就算你要用 isPrime 函数，这样写算法也是存在计算冗余的。

先来说下如果你要判断一个数是不是素数，应该如何写算法。只需稍微修改一下上面的 isPrime 代码中的 for 循环条件：

boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        ...
}

换句话说，i 不需要遍历到 n，而只需要到 sqrt(n) 即可。为什么呢，我们举个例子，假设 n = 12。

12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2

可以看到，后两个乘积就是前面两个反过来，反转临界点就在 sqrt(n)。

换句话说，如果在 [2,sqrt(n)] 这个区间之内没有发现可整除因子，就可以直接断定 n 是素数了，因为在区间 [sqrt(n),n] 也一定不会发现可整除因子。

现在，isPrime 函数的时间复杂度降为 $O(sqrt(N))$，但是我们实现 countPrimes 函数其实并不需要这个函数，以上只是希望读者明白 sqrt(n) 的含义，因为等会还会用到。

高效实现 countPrimes

接下来介绍的方法叫做「素数筛选法」，这个方法是古希腊一位名叫埃拉托色尼的大佬发明的，我们在中学的教课书上见过他的大名，因为他就是第一个通过物体的影子正确计算地球周长的人，被推崇为「地理学之父」。

回到正题，素数筛选法的核心思路是和上面的常规思路反着来：

首先从 2 开始，我们知道 2 是一个素数，那么 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8... 都不可能是素数了。

然后我们发现 3 也是素数，那么 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12... 也都不可能是素数了。

Wikipedia 的这个 GIF 很形象：

看到这里，你是否有点明白这个排除法的逻辑了呢？先看我们的第一版代码：

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        boolean[] isPrime = new boolean[n];
        // 将数组都初始化为 true
        Arrays.fill(isPrime, true);

        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                // i 的倍数不可能是素数了
                for (int j = 2 * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) count++;
        }
        
        return count;
    }
}

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> isPrime(n, true);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = 2 * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                count++;
            }
        }
        
        return count;
    }
};

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        isPrime = [True] * n
        for i in range(2, n):
            if isPrime[i]:
                for j in range(2 * i, n, i):
                    isPrime[j] = False

        count = 0
        for i in range(2, n):
            if isPrime[i]: 
                count += 1

        return count

func countPrimes(n int) int {
    isPrime := make([]bool, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        isPrime[i] = true
    }

    for i := 2; i < n; i++ {
        if isPrime[i] {
            for j := 2 * i; j < n; j += i {
                isPrime[j] = false
            }
        }
    }
    count := 0
    for i := 2; i < n; i++ {
        if isPrime[i] {
            count++
        }
    }
    return count
}

var countPrimes = function(n) {
    let isPrime = new Array(n).fill(true);
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (let j = 2 * i; j < n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    
    let count = 0;
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime[i]) count++;
    }
    
    return count;
};

如果上面这段代码你能够理解，那么你已经掌握了整体思路，但是还有两个细微的地方可以优化。

首先，回想本文开头介绍的 isPrime 素数判定函数，由于因子的对称性，其中的 for 循环只需要遍历 [2,sqrt(n)] 就够了。这里也是类似的，我们外层的 for 循环也只需要遍历到 sqrt(n)：

for (int i = 2; i * i < n; i++) 
    if (isPrime[i]) 
        ...

除此之外，很难注意到内层的 for 循环也可以优化。我们之前的做法是：

for (int j = 2 * i; j < n; j += i) 
    isPrime[j] = false;

这样可以把 i 的整数倍都标记为 false，但是仍然存在计算冗余。

比如 n = 25，i = 5 时算法会标记 5 × 2 = 10，5 × 3 = 15 等等数字，但是这两个数字已经被 i = 2 和 i = 3 的 2 × 5 和 3 × 5 标记了。

我们可以稍微优化一下，让 j 从 i * i 开始遍历，而不是从 2 * i 开始：

for (int j = i * i; j < n; j += i) 
    isPrime[j] = false;

这样，素数计数的算法就高效实现了，其实这个算法有一个名字，叫做 Sieve of Eratosthenes。看下完整的最终代码：

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        boolean[] isPrime = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrime, true);
        for (int i = 2; i * i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) count++;
        }
        
        return count;
    }
}

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> isPrime(n, true);
        for (int i = 2; i * i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                count++;
            }
        }
        
        return count;
    }
};

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        isPrime = [True] * n
        for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
            if isPrime[i]:
                for j in range(i * i, n, i):
                    isPrime[j] = False

        count = 0
        for i in range(2, n):
            if isPrime[i]: 
                count += 1

        return count

func countPrimes(n int) int {
    isPrime := make([]bool, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        isPrime[i] = true
    }

    for i := 2; i * i < n; i++ {
        if isPrime[i] {
            for j := i * i; j < n; j += i {
                isPrime[j] = false
            }
        }
    }
    count := 0
    for i := 2; i < n; i++ {
        if isPrime[i] {
            count++
        }
    }
    return count
}

var countPrimes = function(n) {
    let isPrime = new Array(n).fill(true);
    for (let i = 2; i * i < n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (let j = i * i; j < n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    
    let count = 0;
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        if (isPrime[i]) count++;
    }
    
    return count;
};

该算法的时间复杂度比较难算，显然时间跟这两个嵌套的 for 循环有关，其操作数应该是：

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ...
= n × (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7...)

括号中是素数的倒数。其最终结果是 $O(N * loglogN)$，有兴趣的读者可以查一下该算法的时间复杂度证明。

以上就是素数算法相关的全部内容。怎么样，是不是看似简单的问题却有不少细节可以打磨呀？