众里寻他千百度：名流问题

labuladong原创约 3170 字

本文讲解的例题

LeetCode	力扣	难度
277. Find the Celebrity🔒	277. 搜寻名人🔒	🟠

前置知识

阅读本文前，你需要先学习：

图结构基础及通用实现

今天来讨论经典的「名流问题」：

给你 n 个人的社交关系（你知道任意两个人之间是否认识），然后请你找出这些人中的「名人」。

所谓「名人」有两个条件：

1、所有其他人都认识「名人」。

2、「名人」不认识任何其他人。

这是一个图相关的算法问题，社交关系嘛，本质上就可以抽象成一幅图。

如果把每个人看做图中的节点，「认识」这种关系看做是节点之间的有向边，那么名人就是这幅图中一个特殊的节点：

这个节点没有一条指向其他节点的有向边；且其他所有节点都有一条指向这个节点的有向边。

或者说的专业一点，名人节点的出度为 0，入度为 n - 1。

那么，这 n 个人的社交关系是如何表示的呢？

前文图论算法基础说过，图有两种存储形式，一种是邻接表，一种是邻接矩阵，邻接表的主要优势是节约存储空间；邻接矩阵的主要优势是可以迅速判断两个节点是否相邻。

对于名人问题，显然会经常需要判断两个人之间是否认识，也就是两个节点是否相邻，所以我们可以用邻接矩阵来表示人和人之间的社交关系。

那么，把名流问题描述成算法的形式就是这样的：

给你输入一个大小为 n x n 的二维数组（邻接矩阵） graph 表示一幅有 n 个节点的图，每个人都是图中的一个节点，编号为 0 到 n - 1。

如果 graph[i][j] == 1 代表第 i 个人认识第 j 个人，如果 graph[i][j] == 0 代表第 i 个人不认识第 j 个人。

有了这幅图表示人与人之间的关系，请你计算，这 n 个人中，是否存在「名人」？

如果存在，算法返回这个名人的编号，如果不存在，算法返回 -1。

函数签名如下：

java 🟢

int findCelebrity(int[][] graph);

cpp 🤖

int findCelebrity(vector<vector<int>>& graph);

python 🤖

def findCelebrity(graph: List[List[int]]) -> int:

go 🤖

func findCelebrity(graph [][]int) int {}

javascript 🤖

var findCelebrity = function(graph) { }

比如输入的邻接矩阵长这样：

那么算法应该返回 2。

力扣第 277 题「搜寻名人」就是这个经典问题，不过并不是直接把邻接矩阵传给你，而是只告诉你总人数 n，同时提供一个 API knows 来查询人和人之间的社交关系：

java 🟢

// 可以直接调用，能够返回 i 是否认识 j
boolean knows(int i, int j);

// 请你实现：返回「名人」的编号
int findCelebrity(int n) {
    // todo
}

cpp 🤖

// 可以直接调用，能够返回 i 是否认识 j
bool knows(int i, int j);

// 请你实现：返回「名人」的编号
int findCelebrity(int n) {
    // todo
}

python 🤖

# 可以直接调用，能够返回 i 是否认识 j
def knows(i: int, j: int) -> bool:
    pass

# 请你实现：返回「名人」的编号
def findCelebrity(n: int) -> int:
    # todo

go 🤖

// 可以直接调用，能够返回 i 是否认识 j
func knows(i int, j int) bool {}

// 请你实现：返回「名人」的编号
func findCelebrity(n int) int {
    // todo
}

javascript 🤖

// 可以直接调用，能够返回 i 是否认识 j
var knows = function(i, j) {};

// 请你实现：返回「名人」的编号
var findCelebrity = function(n) {
    // todo
};

很明显，knows API 本质上还是在访问邻接矩阵。为了简单起见，我们后面就按力扣的题目形式来探讨一下这个经典问题。

暴力解法

我们拍拍脑袋就能写出一个简单粗暴的算法：

java 🟢

class Solution extends Relation {
    public int findCelebrity(int n) {
        for (int cand = 0; cand < n; cand++) {
            int other;
            for (other = 0; other < n; other++) {
                if (cand == other) continue;
                // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
                // 否则 cand 就不可能是名人
                if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                    break;
                }
            }
            if (other == n) {
                // 找到名人
                return cand;
            }
        }
        // 没有一个人符合名人特性
        return -1;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int findCelebrity(int n) {
        for (int cand = 0; cand < n; cand++) {
            int other;
            for (other = 0; other < n; other++) {
                if (cand == other) continue;
                // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
                // 否则 cand 就不可能是名人
                if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                    break;
                }
            }
            if (other == n) {
                // 找到名人
                return cand;
            }
        }
        // 没有一个人符合名人特性
        return -1;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def findCelebrity(self, n: int) -> int:
        for cand in range(n):
            other = 0
            # 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            # 否则 cand 就不可能是名人
            while other < n:
                if cand == other:
                    other += 1
                    continue
                if knows(cand, other) or not knows(other, cand):
                    break
                other += 1
            if other == n:
                # 找到名人
                return cand
        # 没有一个人符合名人特性
        return -1

go 🤖

func solution(knows func(a int, b int) bool) func(n int) int {
    return func(n int) int {
        for cand := 0; cand < n; cand++ {
            var other int
            for other = 0; other < n; other++ {
                if cand == other {
                    continue
                }
                // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
                // 否则 cand 就不可能是名人
                if knows(cand, other) || !knows(other, cand) {
                    break
                }
            }
            if other == n {
                // 找到名人
                return cand
            }
        }
        // 没有一个人符合名人特性
        return -1
    }
}

javascript 🤖

var solution = function(knows) {
    return function(n) {
        for (let cand = 0; cand < n; cand++) {
            let other;
            for (other = 0; other < n; other++) {
                if (cand === other) {
                    continue;
                }
                // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
                // 否则 cand 就不可能是名人
                if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                    break;
                }
            }
            if (other === n) {
                // 找到名人
                return cand;
            }
        }
        // 没有一个人符合名人特性
        return -1;
    };
};

cand 是候选人（candidate）的缩写，我们的暴力算法就是从头开始穷举，把每个人都视为候选人，判断是否符合「名人」的条件。

刚才也说了，knows 函数底层就是在访问一个二维的邻接矩阵，一次调用的时间复杂度是 O(1)，所以这个暴力解法整体的最坏时间复杂度是 O(N^2)。

那么，是否有其他高明的办法来优化时间复杂度呢？其实是有优化空间的，你想想，我们现在最耗时的地方在哪里？

对于每一个候选人 cand，我们都要用一个内层 for 循环去判断这个 cand 到底符不符合「名人」的条件。

这个内层 for 循环看起来就蠢，虽然判断一个人「是名人」必须用一个 for 循环，但判断一个人「不是名人」就不用这么麻烦了。

因为「名人」的定义保证了「名人」的唯一性，所以我们可以利用排除法，先排除那些显然不是「名人」的人，从而避免 for 循环的嵌套，降低时间复杂度。

优化解法

我再重复一遍所谓「名人」的定义：

1、所有其他人都认识名人。

2、名人不认识任何其他人。

这个定义就很有意思，它保证了人群中最多有一个名人。

这很好理解，如果有两个人同时是名人，那么这两条定义就自相矛盾了。

换句话说，只要观察任意两个候选人的关系，我一定能确定其中的一个人不是名人，把他排除。

至于另一个候选人是不是名人，只看两个人的关系肯定是不能确定的，但这不重要，重要的是排除掉一个必然不是名人的候选人，缩小了包围圈。

这是优化的核心，也是比较难理解的，所以我们先来说说为什么观察任意两个候选人的关系，就能排除掉一个。

你想想，两个人之间的关系可能是什么样的？

无非就是四种：你认识我我不认识你，我认识你你不认识我，咱俩互相认识，咱两互相不认识。

如果把人比作节点，红色的有向边表示不认识，绿色的有向边表示认识，那么两个人的关系无非是如下四种情况：

不妨认为这两个人的编号分别是 cand 和 other，然后我们逐一分析每种情况，看看怎么排除掉一个人。

对于情况一，cand 认识 other，所以 cand 肯定不是名人，排除。因为名人不可能认识别人。

对于情况二，other 认识 cand，所以 other 肯定不是名人，排除。

对于情况三，他俩互相认识，肯定都不是名人，可以随便排除一个。

对于情况四，他俩互不认识，肯定都不是名人，可以随便排除一个。因为名人应该被所有其他人认识。

综上，只要观察任意两个之间的关系，就至少能确定一个人不是名人，上述情况判断可以用如下代码表示：

java 🟢

if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
    // cand 不可能是名人
} else {
    // other 不可能是名人
}

cpp 🤖

if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
    // cand 不可能是名人
}
else {
    // other 不可能是名人
}

python 🤖

if knows(cand, other) or not knows(other, cand):
    # cand 不可能是名人
else:
    # other 不可能是名人

go 🤖

if knows(cand, other) || !knows(other, cand) {
    // cand 不可能是名人
} else {
    // other 不可能是名人
}

javascript 🤖

if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
    // cand 不可能是名人
} else {
    // other 不可能是名人
}

如果能够理解这一个特点，那么写出优化解法就简单了。

我们可以不断从候选人中选两个出来，然后排除掉一个，直到最后只剩下一个候选人，这时候再使用一个 for 循环判断这个候选人是否是货真价实的「名人」。

这个思路的完整代码如下：

java 🟢

class Solution extends Relation {
    public int findCelebrity(int n) {
        if (n == 1) return 0;
        // 将所有候选人装进队列
        LinkedList<Integer> q = new LinkedList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            q.addLast(i);
        }
        // 一直排除，直到只剩下一个候选人停止循环
        while (q.size() >= 2) {
            // 每次取出两个候选人，排除一个
            int cand = q.removeFirst();
            int other = q.removeFirst();
            if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                // cand 不可能是名人，排除，让 other 归队
                q.addFirst(other);
            } else {
                // other 不可能是名人，排除，让 cand 归队
                q.addFirst(cand);
            }
        }

        // 现在排除得只剩一个候选人，判断他是否真的是名人
        int cand = q.removeFirst();
        for (int other = 0; other < n; other++) {
            if (other == cand) {
                continue;
            }
            // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }
        // cand 是名人
        return cand;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int findCelebrity(int n) {
        if (n == 1) return 0;
        // 将所有候选人装进队列
        queue<int> q;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            q.push(i);
        }
        // 一直排除，直到只剩下一个候选人停止循环
        while (q.size() >= 2) {
            // 每次取出两个候选人，排除一个
            int cand = q.front();
            q.pop();
            int other = q.front();
            q.pop();
            if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                // cand 不可能是名人，排除，让 other 归队
                q.push(other);
            } else {
                // other 不可能是名人，排除，让 cand 归队
                q.push(cand);
            }
        }

        // 现在排除得只剩一个候选人，判断他是否真的是名人
        int cand = q.front();
        for (int other = 0; other < n; other++) {
            if (other == cand) {
                continue;
            }
            // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }
        // cand 是名人
        return cand;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def findCelebrity(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 0
        # 将所有候选人装进队列
        q = collections.deque(range(n))
        # 一直排除，直到只剩下一个候选人停止循环
        while len(q) >= 2:
            # 每次取出两个候选人，排除一个
            cand = q.popleft()
            other = q.popleft()
            if knows(cand, other) or not knows(other, cand):
                # cand 不可能是名人，排除，让 other 归队
                q.appendleft(other)
            else:
                # other 不可能是名人，排除，让 cand 归队
                q.appendleft(cand)

        # 现在排除得只剩一个候选人，判断他是否真的是名人
        cand = q.popleft()
        for other in range(n):
            if other == cand:
                continue
            # 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if not knows(other, cand) or knows(cand, other):
                return -1
        # cand 是名人
        return cand

go 🤖

func solution(knows func(a int, b int) bool) func(n int) int {
    return func(n int) int {
        if n == 1 {
            return 0
        }
        // 将所有候选人装进队列
        q := make([]int, n)
        for i := 0; i < n; i++ {
            q[i] = i
        }
        // 一直排除，直到只剩下一个候选人停止循环
        for len(q) >= 2 {
            // 每次取出两个候选人，排除一个
            cand := q[0]
            q = q[1:]
            other := q[0]
            q = q[1:]
            if knows(cand, other) || !knows(other, cand) {
                // cand 不可能是名人，排除，让 other 归队
                q = append([]int{other}, q...)
            } else {
                // other 不可能是名人，排除，让 cand 归队
                q = append([]int{cand}, q...)
            }
        }

        // 现在排除得只剩一个候选人，判断他是否真的是名人
        cand := q[0]
        for other := 0; other < n; other++ {
            if other == cand {
                continue
            }
            // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if !knows(other, cand) || knows(cand, other) {
                return -1
            }
        }
        // cand 是名人
        return cand
    }
}

javascript 🤖

var solution = function(knows) {
    return function(n) {
        if (n === 1) {
            return 0;
        }
        // 将所有候选人装进队列
        let q = Array.from({ length: n }, (_, i) => i);
        // 一直排除，直到只剩下一个候选人停止循环
        while (q.length >= 2) {
            // 每次取出两个候选人，排除一个
            let cand = q.shift();
            let other = q.shift();
            if (knows(cand, other) || !knows(other, cand)) {
                // cand 不可能是名人，排除，让 other 归队
                q.unshift(other);
            } else {
                // other 不可能是名人，排除，让 cand 归队
                q.unshift(cand);
            }
        }

        // 现在排除得只剩一个候选人，判断他是否真的是名人
        let cand = q.shift();
        for (let other = 0; other < n; other++) {
            if (other === cand) {
                continue;
            }
            // 保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }
        // cand 是名人
        return cand;
    };
};

这个算法避免了嵌套 for 循环，时间复杂度降为 O(N) 了，不过引入了一个队列来存储候选人集合，使用了 O(N) 的空间复杂度。

注

LinkedList 的作用只是充当一个容器把候选人装起来，每次找出两个进行比较和淘汰，但至于具体找出哪两个，都是无所谓的，也就是说候选人归队的顺序无所谓，我们用的是 addFirst 只是方便后续的优化，你完全可以用 addLast，结果都是一样的。

是否可以进一步优化，把空间复杂度也优化掉？

最终解法

如果你能够理解上面的优化解法，其实可以不需要额外的空间解决这个问题，代码如下：

java 🟢

class Solution extends Relation {
    public int findCelebrity(int n) {
        int cand = 0;
        for (int other = 1; other < n; other++) {
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                // cand 不可能是名人，排除
                // 假设 other 是名人
                cand = other;
            } else {
                // other 不可能是名人，排除
                // 什么都不用做，继续假设 cand 是名人
            }
        }

        // 现在的 cand 是排除的最后结果，但不能保证一定是名人
        for (int other = 0; other < n; other++) {
            if (cand == other) continue;
            // 需要保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }

        return cand;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int findCelebrity(int n) {
        int cand = 0;
        for (int other = 1; other < n; other++) {
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                // cand 不可能是名人，排除
                // 假设 other 是名人
                cand = other;
            } else {
                // other 不可能是名人，排除
                // 什么都不用做，继续假设 cand 是名人
            }
        }

        // 现在的 cand 是排除的最后结果，但不能保证一定是名人
        for (int other = 0; other < n; other++) {
            if (cand == other) continue;
            // 需要保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }

        return cand;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def findCelebrity(self, n: int) -> int:
        cand = 0
        for other in range(1, n):
            if not knows(other, cand) or knows(cand, other):
                # cand 不可能是名人，排除
                # 假设 other 是名人
                cand = other
            else:
                # other 不可能是名人，排除
                # 什么都不用做，继续假设 cand 是名人
                pass

        # 现在的 cand 是排除的最后结果，但不能保证一定是名人
        for other in range(n):
            if cand == other:
                continue
            # 需要保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if not knows(other, cand) or knows(cand, other):
                return -1

        return cand

go 🤖

func solution(knows func(a int, b int) bool) func(n int) int {
    return func(n int) int {
        cand := 0
        for other := 1; other < n; other++ {
            if !knows(other, cand) || knows(cand, other) {
                // cand 不可能是名人，排除
                // 假设 other 是名人
                cand = other
            } else {
                // other 不可能是名人，排除
                // 什么都不用做，继续假设 cand 是名人
            }
        }

        // 现在的 cand 是排除的最后结果，但不能保证一定是名人
        for other := 0; other < n; other++ {
            if cand == other {
                continue
            }
            // 需要保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if !knows(other, cand) || knows(cand, other) {
                return -1
            }
        }

        return cand
    }
}

javascript 🤖

var solution = function(knows) {
    return function(n) {
        let cand = 0;
        for (let other = 1; other < n; other++) {
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                // cand 不可能是名人，排除
                // 假设 other 是名人
                cand = other;
            } else {
                // other 不可能是名人，排除
                // 什么都不用做，继续假设 cand 是名人
            }
        }

        // 现在的 cand 是排除的最后结果，但不能保证一定是名人
        for (let other = 0; other < n; other++) {
            if (cand === other) {
                continue;
            }
            // 需要保证其他人都认识 cand，且 cand 不认识任何其他人
            if (!knows(other, cand) || knows(cand, other)) {
                return -1;
            }
        }

        return cand;
    };
};

我们之前的解法用到了 LinkedList 充当一个队列，用于存储候选人集合，而这个优化解法利用 other 和 cand 的交替变化，模拟了我们之前操作队列的过程，避免了使用额外的存储空间。

现在，解决名人问题的解法时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(1)，已经是最优解法了。

众里寻他千百度：名流问题

277. 搜寻名人 https://leetcode.cn/problems/find-the-celebrity

277. Find the Celebrity https://leetcode.com/problems/find-the-celebrity

暴力解法

优化解法

最终解法