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二叉树心法（思路篇）

labuladong原创约 4055 字

114. 将二叉树展开为链表 https://leetcode.cn/problems/flatten-binary-tree-to-linked-list

114. Flatten Binary Tree to Linked List https://leetcode.com/problems/flatten-binary-tree-to-linked-list

116. 填充每个二叉树节点的右侧指针 https://leetcode.cn/problems/populating-next-right-pointers-in-each-node

116. Populating Next Right Pointers in Each Node https://leetcode.com/problems/populating-next-right-pointers-in-each-node

226. 翻转二叉树 https://leetcode.cn/problems/invert-binary-tree

226. Invert Binary Tree https://leetcode.com/problems/invert-binary-tree

本文讲解的例题

LeetCode力扣难度
226. Invert Binary Tree226. 翻转二叉树🟢
116. Populating Next Right Pointers in Each Node116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针🟠
114. Flatten Binary Tree to Linked List114. 二叉树展开为链表🟠

前置知识

阅读本文前，你需要先学习：

本文承接 二叉树心法（纲领篇），先复述一下前文总结的二叉树解题总纲：

注

二叉树解题的思维模式分两类：

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案？如果可以，用一个 traverse 函数配合外部变量来实现，这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数，通过子问题（子树）的答案推导出原问题的答案？如果可以，写出这个递归函数的定义，并充分利用这个函数的返回值，这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式，你都需要思考：

如果单独抽出一个二叉树节点，它需要做什么事情？需要在什么时候（前/中/后序位置）做？其他的节点不用你操心，递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

本文就以几道比较简单的题目为例，带你实践运用这几条总纲，理解「遍历」的思维和「分解问题」的思维有何区别和联系。

第一题、翻转二叉树

我们先从简单的题开始，看看力扣第 226 题「翻转二叉树」，输入一个二叉树根节点 root，让你把整棵树镜像翻转，比如输入的二叉树如下：

     4
   /   \
  2     7
 / \   / \
1   3 6   9

算法原地翻转二叉树，使得以 root 为根的树变成：

     4
   /   \
  7     2
 / \   / \
9   6 3   1

不难发现，只要把二叉树上的每一个节点的左右子节点进行交换，最后的结果就是完全翻转之后的二叉树。

那么现在开始在心中默念二叉树解题总纲：

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决？

可以，我写一个 traverse 函数遍历每个节点，让每个节点的左右子节点颠倒过来就行了。

单独抽出一个节点，需要让它做什么？让它把自己的左右子节点交换一下。

需要在什么时候做？好像前中后序位置都可以。

综上，可以写出如下解法代码：

java 🟢
class Solution {
    // 主函数
    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
        // 遍历二叉树，交换每个节点的子节点
        traverse(root);
        return root;
    }

    // 二叉树遍历函数
    void traverse(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }

        // *** 前序位置 ***
        // 每一个节点需要做的事就是交换它的左右子节点
        TreeNode tmp = root.left;
        root.left = root.right;
        root.right = tmp;

        // 遍历框架，去遍历左右子树的节点
        traverse(root.left);
        traverse(root.right);
    }
}

你把前序位置的代码移到后序位置也可以，但是直接移到中序位置是不行的，需要稍作修改，这应该很容易看出来吧，我就不说了。

按理说，这道题已经解决了，不过为了对比，我们再继续思考下去。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决？

我们尝试给 invertTree 函数赋予一个定义：

java 🟢
// 定义：将以 root 为根的这棵二叉树翻转，返回翻转后的二叉树的根节点
TreeNode invertTree(TreeNode root);

然后思考，对于某一个二叉树节点 x 执行 invertTree(x)，你能利用这个递归函数的定义做点啥？

我可以用 invertTree(x.left) 先把 x 的左子树翻转，再用 invertTree(x.right) 把 x 的右子树翻转，最后把 x 的左右子树交换，这恰好完成了以 x 为根的整棵二叉树的翻转，即完成了 invertTree(x) 的定义。

直接写出解法代码：

java 🟢
class Solution {
    // 定义：将以 root 为根的这棵二叉树翻转，返回翻转后的二叉树的根节点
    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        // 利用函数定义，先翻转左右子树
        TreeNode left = invertTree(root.left);
        TreeNode right = invertTree(root.right);

        // 然后交换左右子节点
        root.left = right;
        root.right = left;

        // 和定义逻辑自恰：以 root 为根的这棵二叉树已经被翻转，返回 root
        return root;
    }
}

这种「分解问题」的思路，核心在于你要给递归函数一个合适的定义，然后用函数的定义来解释你的代码；如果你的逻辑成功自恰，那么说明你这个算法是正确的。

好了，这道题就分析到这，「遍历」和「分解问题」的思路都可以解决，看下一道题。

第二题、填充节点的右侧指针

这是力扣第 116 题「填充每个二叉树节点的右侧指针」，看下题目：

116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针 | 力扣 | LeetCode |

给定一个 完美二叉树 ，其所有叶子节点都在同一层，每个父节点都有两个子节点。二叉树定义如下：

struct Node {
  int val;
  Node *left;
  Node *right;
  Node *next;
}

填充它的每个 next 指针，让这个指针指向其下一个右侧节点。如果找不到下一个右侧节点，则将 next 指针设置为 NULL。

初始状态下，所有 next 指针都被设置为 NULL。

示例 1：

输入：root = [1,2,3,4,5,6,7]
输出：[1,#,2,3,#,4,5,6,7,#]
解释：给定二叉树如图 A 所示，你的函数应该填充它的每个 next 指针，以指向其下一个右侧节点，如图 B 所示。序列化的输出按层序遍历排列，同一层节点由 next 指针连接，'#' 标志着每一层的结束。

示例 2:

输入：root = []
输出：[]

提示：

  • 树中节点的数量在 [0, 212 - 1] 范围内
  • -1000 <= node.val <= 1000

进阶：

  • 你只能使用常量级额外空间。
  • 使用递归解题也符合要求，本题中递归程序占用的栈空间不算做额外的空间复杂度。
java 🟢
// 函数签名
Node connect(Node root);

题目的意思就是把二叉树的每一层节点都用 next 指针连接起来：

而且题目说了，输入是一棵「完美二叉树」，形象地说整棵二叉树是一个正三角形，除了最右侧的节点 next 指针会指向 null，其他节点的右侧一定有相邻的节点。

这道题怎么做呢？来默念二叉树解题总纲：

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决？

很显然，一定可以。

每个节点要做的事也很简单，把自己的 next 指针指向右侧节点就行了。

也许你会模仿上一道题，直接写出如下代码：

java 🟢
// 二叉树遍历函数
void traverse(Node root) {
    if (root == null || root.left == null) {
        return;
    }
    // 把左子节点的 next 指针指向右子节点
    root.left.next = root.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是，这段代码其实有很大问题，因为它只能把相同父节点的两个节点穿起来，再看看这张图：

节点 5 和节点 6 不属于同一个父节点，那么按照这段代码的逻辑，它俩就没办法被穿起来，这是不符合题意的，但是问题出在哪里？

传统的 traverse 函数是遍历二叉树的所有节点，但现在我们想遍历的其实是两个相邻节点之间的「空隙」。

所以我们可以在二叉树的基础上进行抽象，你把图中的每一个方框看做一个节点：

这样，一棵二叉树被抽象成了一棵三叉树，三叉树上的每个节点就是原先二叉树的两个相邻节点。

现在，我们只要实现一个 traverse 函数来遍历这棵三叉树，每个「三叉树节点」需要做的事就是把自己内部的两个二叉树节点穿起来：

java 🟢
class Solution {
    // 主函数
    public Node connect(Node root) {
        if (root == null) return null;
        // 遍历「三叉树」，连接相邻节点
        traverse(root.left, root.right);
        return root;
    }

    // 三叉树遍历框架
    void traverse(Node node1, Node node2) {
        if (node1 == null || node2 == null) {
            return;
        }
        // *** 前序位置 ***
        // 将传入的两个节点穿起来
        node1.next = node2;
        
        // 连接相同父节点的两个子节点
        traverse(node1.left, node1.right);
        traverse(node2.left, node2.right);
        // 连接跨越父节点的两个子节点
        traverse(node1.right, node2.left);
    }
}

这样，traverse 函数遍历整棵「三叉树」，将所有相邻节的二叉树节点都连接起来，也就避免了我们之前出现的问题，把这道题完美解决。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决？

嗯，好像没有什么特别好的思路，所以这道题无法使用「分解问题」的思维来解决。

第三题、将二叉树展开为链表

这是力扣第 114 题「将二叉树展开为链表」，看下题目：

114. 二叉树展开为链表 | 力扣 | LeetCode |

给你二叉树的根结点 root ，请你将它展开为一个单链表：

  • 展开后的单链表应该同样使用 TreeNode ，其中 right 子指针指向链表中下一个结点，而左子指针始终为 null 。
  • 展开后的单链表应该与二叉树 先序遍历 顺序相同。

示例 1：

输入：root = [1,2,5,3,4,null,6]
输出：[1,null,2,null,3,null,4,null,5,null,6]

示例 2：

输入：root = []
输出：[]

示例 3：

输入：root = [0]
输出：[0]

提示：

  • 树中结点数在范围 [0, 2000] 内
  • -100 <= Node.val <= 100

进阶：你可以使用原地算法（O(1) 额外空间）展开这棵树吗？

java 🟢
// 函数签名如下
void flatten(TreeNode root);

for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
    r_max[i] = Math.max(height[i], r_max[i + 1]);

for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
    // hello world
    res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];

}

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决？

乍一看感觉是可以的：对整棵树进行前序遍历，一边遍历一边构造出一条「链表」就行了：

java 🟢
// 虚拟头节点，dummy.right 就是结果
TreeNode dummy = new TreeNode(-1);
// 用来构建链表的指针
TreeNode p = dummy;

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    p.right = new TreeNode(root.val);
    p = p.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是注意 flatten 函数的签名，返回类型为 void，也就是说题目希望我们在原地把二叉树拉平成链表。

这样一来，没办法通过简单的二叉树遍历来解决这道题了。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决？

我们尝试给出 flatten 函数的定义：

java 🟢
// 定义：输入节点 root，然后 root 为根的二叉树就会被拉平为一条链表
void flatten(TreeNode root);

有了这个函数定义，如何按题目要求把一棵树拉平成一条链表？

对于一个节点 x，可以执行以下流程：

1、先利用 flatten(x.left) 和 flatten(x.right) 将 x 的左右子树拉平。

2、将 x 的右子树接到左子树下方，然后将整个左子树作为右子树。

这样，以 x 为根的整棵二叉树就被拉平了，恰好完成了 flatten(x) 的定义。

直接看代码实现：

java 🟢
class Solution {
    // 定义：将以 root 为根的树拉平为链表
    public void flatten(TreeNode root) {
        // base case
        if (root == null) return;
        
        // 利用定义，把左右子树拉平
        flatten(root.left);
        flatten(root.right);

        // *** 后序遍历位置 ***
        // 1、左右子树已经被拉平成一条链表
        TreeNode left = root.left;
        TreeNode right = root.right;
        
        // 2、将左子树作为右子树
        root.left = null;
        root.right = left;

        // 3、将原先的右子树接到当前右子树的末端
        TreeNode p = root;
        while (p.right != null) {
            p = p.right;
        }
        p.right = right;

    }
}

你看，这就是递归的魅力，你说 flatten 函数是怎么把左右子树拉平的？

不容易说清楚，但是只要知道 flatten 的定义如此并利用这个定义，让每一个节点做它该做的事情，然后 flatten 函数就会按照定义工作。

至此，这道题也解决了，我们前文 k个一组翻转链表 的递归思路和本题也有一些类似。

最后，首尾呼应，再次默写二叉树解题总纲。

二叉树解题的思维模式分两类：

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案？如果可以，用一个 traverse 函数配合外部变量来实现，这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数，通过子问题（子树）的答案推导出原问题的答案？如果可以，写出这个递归函数的定义，并充分利用这个函数的返回值，这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式，你都需要思考：

如果单独抽出一个二叉树节点，它需要做什么事情？需要在什么时候（前/中/后序位置）做？其他的节点不用你操心，递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

希望你能仔细体会，并运用到所有二叉树题目上。

本文就到这里，更多经典的二叉树习题以及递归思维的训练，请参见二叉树章节中的 递归专项练习。

引用本文的题目

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LeetCode力扣难度
-剑指 Offer 26. 树的子结构🟠
-剑指 Offer 27. 二叉树的镜像🟢
上次编辑于: 2024/12/6 11:53:39