二分搜索算法运用
读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目：
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我们前文我写了首诗，把二分搜索变成了默写题详细介绍了二分搜索的细节问题，探讨了「搜索一个元素」，「搜索左侧边界」，「搜索右侧边界」这三个情况，教你如何写出正确无 bug 的二分搜索算法。
但是前文总结的二分搜索代码框架仅仅局限于「在有序数组中搜索指定元素」这个基本场景，具体的算法问题没有这么直接，可能你都很难看出这个问题能够用到二分搜索。
对于二分搜索算法在具体问题中的运用，前文二分搜索的运用（一）和前文二分搜索的运用（二）有过介绍，但是还没有抽象出来一个具体的套路框架。
所以本文就来总结一套二分搜索算法运用的框架套路，帮你在遇到二分搜索算法相关的实际问题时，能够有条理地思考分析，步步为营，写出答案。
警告：本文略长略硬核，建议清醒时学习。
原始的二分搜索代码
二分搜索的原型就是在「有序数组」中搜索一个元素 target，返回该元素对应的索引。
如果该元素不存在，那可以返回一个什么特殊值，这种细节问题只要微调算法实现就可实现。
还有一个重要的问题，如果「有序数组」中存在多个 target 元素，那么这些元素肯定挨在一起，这里就涉及到算法应该返回最左侧的那个 target 元素的索引还是最右侧的那个 target 元素的索引，也就是所谓的「搜索左侧边界」和「搜索右侧边界」，这个也可以通过微调算法的代码来实现。
我们前文我写了首诗，把二分搜索变成了默写题详细探讨了上述问题，对这块还不清楚的读者建议复习前文，已经搞清楚基本二分搜索算法的读者可以继续看下去。
在具体的算法问题中，常用到的是「搜索左侧边界」和「搜索右侧边界」这两种场景，很少有让你单独「搜索一个元素」。
因为算法题一般都让你求最值，比如前文二分搜索的运用（一）中说的例题让你求吃香蕉的「最小速度」，让你求轮船的「最低运载能力」，前文二分搜索的运用（二）讲的题就更魔幻了，让你使每个子数组之和的「最大值最小」。
求最值的过程，必然是搜索一个边界的过程，所以后面我们就详细分析一下这两种搜索边界的二分算法代码。
「搜索左侧边界」的二分搜索算法的具体代码实现如下：
// 搜索左侧边界
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
// 当找到 target 时，收缩右侧边界
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left;
}
假设输入的数组 nums = [1,2,3,3,3,5,7]，想搜索的元素 target = 3，那么算法就会返回索引 2。
如果画一个图，就是这样：
「搜索右侧边界」的二分搜索算法的具体代码实现如下：
// 搜索右侧边界
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
// 当找到 target 时，收缩左侧边界
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1;
}
输入同上，那么算法就会返回索引 4，如果画一个图，就是这样：
好，上述内容都属于复习，我想读到这里的读者应该都能理解。记住上述的图像，所有能够抽象出上述图像的问题，都可以使用二分搜索解决。
二分搜索问题的泛化
什么问题可以运用二分搜索算法技巧？
首先，你要从题目中抽象出一个自变量 x，一个关于 x 的函数 f(x)，以及一个目标值 target。
同时，x, f(x), target 还要满足以下条件：
1、f(x) 必须是在 x 上的单调函数（单调增单调减都可以）。
2、题目是让你计算满足约束条件 f(x) == target 时的 x 的值。
上述规则听起来有点抽象，来举个具体的例子：
给你一个升序排列的有序数组 nums 以及一个目标元素 target，请你计算 target 在数组中的索引位置，如果有多个目标元素，返回最小的索引。
这就是「搜索左侧边界」这个基本题型，解法代码之前都写了，但这里面 x, f(x), target 分别是什么呢？
我们可以把数组中元素的索引认为是自变量 x，函数关系 f(x) 就可以这样设定：
// 函数 f(x) 是关于自变量 x 的单调递增函数
// 入参 nums 是不会改变的，所以可以忽略，不算自变量
int f(int x, int[] nums) {
return nums[x];
}
其实这个函数 f 就是在访问数组 nums，因为题目给我们的数组 nums 是升序排列的，所以函数 f(x) 就是在 x 上单调递增的函数。
最后，题目让我们求什么来着？是不是让我们计算元素 target 的最左侧索引？
是不是就相当于在问我们「满足 f(x) == target 的 x 的最小值是多少」？
画个图，如下：
如果遇到一个算法问题，能够把它抽象成这幅图，就可以对它运用二分搜索算法。
算法代码如下：
// 函数 f 是关于自变量 x 的单调递增函数
int f(int x, int[] nums) {
return nums[x];
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(mid, nums) == target) {
// 当找到 target 时，收缩右侧边界
right = mid;
} else if (f(mid, nums) < target) {
left = mid + 1;
} else if (f(mid, nums) > target) {
right = mid;
}
}
return left;
}
这段代码把之前的代码微调了一下，把直接访问 nums[mid] 套了一层函数 f，其实就是多此一举，但是，这样能抽象出二分搜索思想在具体算法问题中的框架。
运用二分搜索的套路框架
想要运用二分搜索解决具体的算法问题，可以从以下代码框架着手思考：
// 函数 f 是关于自变量 x 的单调函数
int f(int x) {
// ...
}
// 主函数，在 f(x) == target 的约束下求 x 的最值
int solution(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
// 问自己：自变量 x 的最小值是多少？
int left = ...;
// 问自己：自变量 x 的最大值是多少？
int right = ... + 1;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(mid) == target) {
// 问自己：题目是求左边界还是右边界？
// ...
} else if (f(mid) < target) {
// 问自己：怎么让 f(x) 大一点？
// ...
} else if (f(mid) > target) {
// 问自己：怎么让 f(x) 小一点？
// ...
}
}
return left;
}
具体来说，想要用二分搜索算法解决问题，分为以下几步：
1、确定 x, f(x), target 分别是什么，并写出函数 f 的代码。
2、找到 x 的取值范围作为二分搜索的搜索区间，初始化 left 和 right 变量。
3、根据题目的要求，确定应该使用搜索左侧还是搜索右侧的二分搜索算法，写出解法代码。
下面用几道例题来讲解这个流程。
例题一、珂珂吃香蕉
这是力扣第 875 题「爱吃香蕉的珂珂」：
珂珂每小时最多只能吃一堆香蕉，如果吃不完的话留到下一小时再吃；如果吃完了这一堆还有胃口，也只会等到下一小时才会吃下一堆。
他想在警卫回来之前吃完所有香蕉，让我们确定吃香蕉的最小速度 K。函数签名如下：
int minEatingSpeed(int[] piles, int H);
那么，对于这道题，如何运用刚才总结的套路，写出二分搜索解法代码？
按步骤思考即可：
1、确定 x, f(x), target 分别是什么，并写出函数 f 的代码。
自变量 x 是什么呢？回忆之前的函数图像，二分搜索的本质就是在搜索自变量。
所以，题目让求什么，就把什么设为自变量，珂珂吃香蕉的速度就是自变量 x。
那么，在 x 上单调的函数关系 f(x) 是什么？
显然，吃香蕉的速度越快，吃完所有香蕉堆所需的时间就越少，速度和时间就是一个单调函数关系。
所以，f(x) 函数就可以这样定义：
若吃香蕉的速度为 x 根/小时，则需要 f(x) 小时吃完所有香蕉。
代码实现如下：
// 定义：速度为 x 时，需要 f(x) 小时吃完所有香蕉
// f(x) 随着 x 的增加单调递减
int f(int[] piles, int x) {
int hours = 0;
for (int i = 0; i < piles.length; i++) {
hours += piles[i] / x;
if (piles[i] % x > 0) {
hours++;
}
}
return hours;
}
target 就很明显了，吃香蕉的时间限制 H 自然就是 target，是对 f(x) 返回值的最大约束。
2、找到 x 的取值范围作为二分搜索的搜索区间，初始化 left 和 right 变量。
珂珂吃香蕉的速度最小是多少？多大是多少？
显然，最小速度应该是 1，最大速度是 piles 数组中元素的最大值，因为每小时最多吃一堆香蕉，胃口再大也白搭嘛。
这里可以有两种选择，要么你用一个 for 循环去遍历 piles 数组，计算最大值，要么你看题目给的约束，piles 中的元素取值范围是多少，然后给 right 初始化一个取值范围之外的值。
我选择第二种，题目说了 1 <= piles[i] <= 10^9，那么我就可以确定二分搜索的区间边界：
public int minEatingSpeed(int[] piles, int H) {
int left = 1;
// 注意，right 是开区间，所以再加一
int right = 1000000000 + 1;
// ...
}
3、根据题目的要求，确定应该使用搜索左侧还是搜索右侧的二分搜索算法，写出解法代码。
现在我们确定了自变量 x 是吃香蕉的速度，f(x) 是单调递减的函数，target 就是吃香蕉的时间限制 H，题目要我们计算最小速度，也就是 x 要尽可能小：
这就是搜索左侧边界的二分搜索嘛，不过注意 f(x) 是单调递减的，不要闭眼睛套框架，需要结合上图进行思考，写出代码：
public int minEatingSpeed(int[] piles, int H) {
int left = 1;
int right = 1000000000 + 1;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(piles, mid) == H) {
// 搜索左侧边界，则需要收缩右侧边界
right = mid;
} else if (f(piles, mid) < H) {
// 需要让 f(x) 的返回值大一些
right = mid;
} else if (f(piles, mid) > H) {
// 需要让 f(x) 的返回值小一些
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
PS：关于 mid 是否需要 + 1 的问题，前文二分搜索算法详解进行了详细分析，这里不展开了。
至此，这道题就解决了，现在可以把多余的 if 分支合并一下，最终代码如下：
public int minEatingSpeed(int[] piles, int H) {
int left = 1;
int right = 1000000000 + 1;
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(piles, mid) <= H) {
right = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
// f(x) 随着 x 的增加单调递减
int f(int[] piles, int x) {
// 见上文
}
PS：我们代码框架中多余的 if 分支主要是帮助理解的，写出正确解法后建议合并多余的分支，可以提高算法运行的效率。
例题二、运送货物
再看看力扣第 1011 题「在 D 天内送达包裹的能力」：
要在 D 天内按顺序运输完所有货物，货物不可分割，如何确定运输的最小载重呢？
函数签名如下：
int shipWithinDays(int[] weights, int days);
和上一道题一样的，我们按照流程来就行：
1、确定 x, f(x), target 分别是什么，并写出函数 f 的代码。
题目问什么，什么就是自变量，也就是说船的运载能力就是自变量 x。
运输天数和运载能力成反比，所以可以让 f(x) 计算 x 的运载能力下需要的运输天数，那么 f(x) 是单调递减的。
函数 f(x) 的实现如下：
// 定义：当运载能力为 x 时，需要 f(x) 天运完所有货物
// f(x) 随着 x 的增加单调递减
int f(int[] weights, int x) {
int days = 0;
for (int i = 0; i < weights.length; ) {
// 尽可能多装货物
int cap = x;
while (i < weights.length) {
if (cap < weights[i]) break;
else cap -= weights[i];
i++;
}
days++;
}
return days;
}
对于这道题，target 显然就是运输天数 D，我们要在 f(x) == D 的约束下，算出船的最小载重。
2、找到 x 的取值范围作为二分搜索的搜索区间，初始化 left 和 right 变量。
船的最小载重是多少？最大载重是多少？
显然，船的最小载重应该是 weights 数组中元素的最大值，因为每次至少得装一件货物走，不能说装不下嘛。
最大载重显然就是weights 数组所有元素之和，也就是一次把所有货物都装走。
这样就确定了搜索区间 [left, right)：
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
int left = 0;
// 注意，right 是开区间，所以额外加一
int right = 1;
for (int w : weights) {
left = Math.max(left, w);
right += w;
}
// ...
}
3、需要根据题目的要求，确定应该使用搜索左侧还是搜索右侧的二分搜索算法，写出解法代码。
现在我们确定了自变量 x 是船的载重能力，f(x) 是单调递减的函数，target 就是运输总天数限制 D，题目要我们计算船的最小载重，也就是 x 要尽可能小：
这就是搜索左侧边界的二分搜索嘛，结合上图就可写出二分搜索代码：
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
int left = 0;
// 注意，right 是开区间，所以额外加一
int right = 1;
for (int w : weights) {
left = Math.max(left, w);
right += w;
}
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(weights, mid) == days) {
// 搜索左侧边界，则需要收缩右侧边界
right = mid;
} else if (f(weights, mid) < days) {
// 需要让 f(x) 的返回值大一些
right = mid;
} else if (f(weights, mid) > days) {
// 需要让 f(x) 的返回值小一些
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
到这里，这道题的解法也写出来了，我们合并一下多余的 if 分支，提高代码运行速度，最终代码如下：
public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
int left = 0;
int right = 1;
for (int w : weights) {
left = Math.max(left, w);
right += w;
}
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (f(weights, mid) <= days) {
right = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
int f(int[] weights, int x) {
// 见上文
}
本文就到这里，总结来说，如果发现题目中存在单调关系，就可以尝试使用二分搜索的思路来解决。搞清楚单调性和二分搜索的种类，通过分析和画图，就能够写出最终的代码。