动态规划设计：最大子数组
读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目：
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最大子数组问题和前文讲过的经典动态规划：最长递增子序列的套路非常相似，代表着一类比较特殊的动态规划问题的思路：
思路分析
其实第一次看到这道题，我首先想到的是滑动窗口算法，因为我们前文说过嘛，滑动窗口算法就是专门处理子串/子数组问题的，这里不就是子数组问题么？
但是，稍加分析就发现，这道题还不能用滑动窗口算法，因为数组中的数字可以是负数。
滑动窗口算法无非就是双指针形成的窗口扫描整个数组/子串，但关键是，你得清楚地知道什么时候应该移动右侧指针来扩大窗口，什么时候移动左侧指针来减小窗口。
而对于这道题目，你想想，当窗口扩大的时候可能遇到负数，窗口中的值也就可能增加也可能减少，这种情况下不知道什么时机去收缩左侧窗口，也就无法求出「最大子数组和」。
解决这个问题需要动态规划技巧，但是 dp 数组的定义比较特殊。按照我们常规的动态规划思路，一般是这样定义 dp 数组：
nums[0..i] 中的「最大的子数组和」为 dp[i]。
如果这样定义的话，整个 nums 数组的「最大子数组和」就是 dp[n-1]。如何找状态转移方程呢？按照数学归纳法，假设我们知道了 dp[i-1]，如何推导出 dp[i] 呢？
如下图，按照我们刚才对 dp 数组的定义，dp[i] = 5 ，也就是等于 nums[0..i] 中的最大子数组和：
那么在上图这种情况中，利用数学归纳法，你能用 dp[i] 推出 dp[i+1] 吗？
实际上是不行的，因为子数组一定是连续的，按照我们当前 dp 数组定义，并不能保证 nums[0..i] 中的最大子数组与 nums[i+1] 是相邻的，也就没办法从 dp[i] 推导出 dp[i+1]。
所以说我们这样定义 dp 数组是不正确的，无法得到合适的状态转移方程。对于这类子数组问题，我们就要重新定义 dp 数组的含义：
以 nums[i] 为结尾的「最大子数组和」为 dp[i]。
这种定义之下，想得到整个 nums 数组的「最大子数组和」，不能直接返回 dp[n-1]，而需要遍历整个 dp 数组：
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
依然使用数学归纳法来找状态转移关系：假设我们已经算出了 dp[i-1]，如何推导出 dp[i] 呢？
可以做到，dp[i] 有两种「选择」，要么与前面的相邻子数组连接，形成一个和更大的子数组；要么不与前面的子数组连接，自成一派，自己作为一个子数组。
如何选择？既然要求「最大子数组和」，当然选择结果更大的那个啦：
// 要么自成一派，要么和前面的子数组合并
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
综上，我们已经写出了状态转移方程，就可以直接写出解法了：
int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
int[] dp = new int[n];
// base case
// 第一个元素前面没有子数组
dp[0] = nums[0];
// 状态转移方程
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
}
// 得到 nums 的最大子数组
int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
以上解法时间复杂度是 O(N)，空间复杂度也是 O(N)，较暴力解法已经很优秀了，不过注意到 dp[i] 仅仅和 dp[i-1] 的状态有关，那么我们可以进行「状态压缩」，将空间复杂度降低：
int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 0) return 0;
// base case
int dp_0 = nums[0];
int dp_1 = 0, res = dp_0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
// dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
dp_0 = dp_1;
// 顺便计算最大的结果
res = Math.max(res, dp_1);
}
return res;
}
最后总结
虽然说动态规划推状态转移方程确实比较玄学，但大部分还是有些规律可循的。
今天这道「最大子数组和」就和「最长递增子序列」非常类似，dp 数组的定义是「以 nums[i] 为结尾的最大子数组和/最长递增子序列为 dp[i]」。因为只有这样定义才能将 dp[i+1] 和 dp[i] 建立起联系，利用数学归纳法写出状态转移方程。