Info

数据结构精品课 和 递归算法专题课 限时附赠网站会员，全新纸质书《labuladong 的算法笔记》 出版，签名版限时半价！

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode	力扣	难度
72. Edit Distance	72. 编辑距离	🔴

Tip

本文有视频版：编辑距离详解动态规划。建议关注我的 B 站账号，我会用视频领读的方式带大家学习那些稍有难度的算法技巧。

前几天看了一份鹅厂的面试题，算法部分大半是动态规划，最后一题就是写一个计算编辑距离的函数，今天就专门写一篇文章来探讨一下这个问题。

我个人很喜欢编辑距离这个问题，因为它看起来十分困难，解法却出奇得简单漂亮，而且它是少有的比较实用的算法（我承认很多算法问题都不太实用）。

力扣第 72 题「编辑距离」就是这个问题，先看下题目：

函数签名如下：

int minDistance(String s1, String s2)

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

int minDistance(string s1, string s2)

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

def minDistance(s1: str, s2: str) -> int:

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

func minDistance(s1 string, s2 string) int {}

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

var minDistance = function(s1, s2) {

};

为什么说这个问题难呢，因为显而易见，它就是难，让人手足无措，望而生畏。

为什么说它实用呢，因为前几天我就在日常生活中用到了这个算法。之前有一篇公众号文章由于疏忽，写错位了一段内容，我决定修改这部分内容让逻辑通顺。但是公众号文章最多只能修改 20 个字，且只支持增、删、替换操作（跟编辑距离问题一模一样），于是我就用算法求出了一个最优方案，只用了 16 步就完成了修改。

再比如高大上一点的应用，DNA 序列是由 A,G,C,T 组成的序列，可以类比成字符串。编辑距离可以衡量两个 DNA 序列的相似度，编辑距离越小，说明这两段 DNA 越相似，说不定这俩 DNA 的主人是远古近亲啥的。

下面言归正传，详细讲解一下编辑距离该怎么算，相信本文会让你有收获。

一、思路

编辑距离问题就是给我们两个字符串 s1 和 s2，只能用三种操作，让我们把 s1 变成 s2，求最少的操作数。需要明确的是，不管是把 s1 变成 s2 还是反过来，结果都是一样的，所以后文就以 s1 变成 s2 举例。

后文 最长公共子序列 说过，解决两个字符串的动态规划问题，一般都是用两个指针 i, j 分别指向两个字符串的最后，然后一步步往前移动，缩小问题的规模。

Tip

其实让 i, j 从前往后移动也可以，改一下 dp 函数/数组的定义即可，思路是完全一样的。

设两个字符串分别为 "rad" 和 "apple"，为了把 s1 变成 s2，算法会这样进行：

请记住这个 GIF 过程，这样就能算出编辑距离。关键在于如何做出正确的操作，稍后会讲。

根据上面的 GIF，可以发现操作不只有三个，其实还有第四个操作，就是什么都不要做（skip）。比如这个情况：

因为这两个字符本来就相同，为了使编辑距离最小，显然不应该对它们有任何操作，直接往前移动 i, j 即可。

还有一个很容易处理的情况，就是 j 走完 s2 时，如果 i 还没走完 s1，那么只能用删除操作把 s1 缩短为 s2。比如这个情况：

类似的，如果 i 走完 s1 时 j 还没走完了 s2，那就只能用插入操作把 s2 剩下的字符全部插入 s1。等会会看到，这两种情况就是算法的 base case。

下面详解一下如何将思路转换成代码，坐稳，要发车了。

二、代码详解

先梳理一下之前的思路：

base case 是 i 走完 s1 或 j 走完 s2，可以直接返回另一个字符串剩下的长度。

对于每对儿字符 s1[i] 和 s2[j]，可以有四种操作：

if s1[i] == s2[j]:
    啥都别做（skip）
    i, j 同时向前移动
else:
    三选一：
        插入（insert）
        删除（delete）
        替换（replace）

有这个框架，问题就已经解决了。读者也许会问，这个「三选一」到底该怎么选择呢？很简单，全试一遍，哪个操作最后得到的编辑距离最小，就选谁。这里需要递归技巧，先看下暴力解法代码：

int minDistance(String s1, String s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
}

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
    // base case
    if (i == -1) return j + 1;
    if (j == -1) return i + 1;

    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
        return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); // 啥都不做
    }
    return min(
        dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    // 插入
        dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    // 删除
        dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 // 替换
    );
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

int minDistance(string s1, string s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
}

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(string s1, int i, string s2, int j) {
    // base case
    if (i == -1) return j + 1;
    if (j == -1) return i + 1;

    if (s1[i] == s2[j]) {
        return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); // 啥都不做
    }
    return min(
        dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    // 插入
        dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    // 删除
        dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 // 替换
    );
}

int min(int a, int b, int c) {
    return min(min(a, b), c);
}

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

def minDistance(s1: str, s2: str) -> int:

    def dp(i, j):
        if i == -1: return j + 1
        if j == -1: return i + 1

        if s1[i] == s2[j]:
            return dp(i - 1, j - 1) 
        return min(
            dp(i, j - 1) + 1,   # 插入
            dp(i - 1, j) + 1,   # 删除
            dp(i - 1, j - 1) + 1 # 替换
        )

    return dp(len(s1) - 1, len(s2) - 1)

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

func minDistance(s1, s2 string) int {
    m, n := len(s1), len(s2)
    // i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1)
}

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
func dp(s1 string, i int, s2 string, j int) int {
    // base case
    if i == -1 {
        return j + 1
    }
    if j == -1 {
        return i + 1
    }

    if s1[i] == s2[j] {
        return dp(s1, i - 1, s2, j - 1) // 啥都不做
    }
    return min(
        dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    // 插入
        dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    // 删除
        dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1, // 替换
    )
}

func min(a, b, c int) int {
    if a < b {
        if a < c {
            return a
        } else {
            return c
        }
    } else {
        if b < c {
            return b
        } else {
            return c
        }
    }
}

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

var minDistance = function(s1, s2) {
    var m = s1.length, n = s2.length;
    // i，j 初始化指向最后一个索引
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
};

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
var dp = function(s1, i, s2, j) {
    // base case
    if (i === -1) return j + 1;
    if (j === -1) return i + 1;

    if (s1.charAt(i) === s2.charAt(j)) {
        return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); // 啥都不做
    }
    return Math.min(
        dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    // 插入
        dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    // 删除
        dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 // 替换
    );
};

var min = function(a, b, c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
};

下面来详细解释一下这段递归代码，base case 应该不用解释了，主要解释一下递归部分。

都说递归代码的可解释性很好，这是有道理的，只要理解函数的定义，就能很清楚地理解算法的逻辑。我们这里 dp 函数的定义是这样的：

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(String s1, int i, String s2, int j) {

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(string s1, int i, string s2, int j) {

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

# 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
def dp(s1: str, i: int, s2: str, j: int):

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
func dp(s1 string, i int, s2 string, j int) int {

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
var dp = function(s1, i, s2, j) {

记住这个定义之后，先来看这段代码：

if s1[i] == s2[j]:
    return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); # 啥都不做
# 解释：
# 本来就相等，不需要任何操作
# s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离等于
# s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 的最小编辑距离
# 也就是说 dp(i, j) 等于 dp(i-1, j-1)

如果 s1[i] != s2[j]，就要对三个操作递归了，稍微需要点思考：

dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,    # 插入
# 解释：
# 我直接在 s1[i] 插入一个和 s2[j] 一样的字符
# 那么 s2[j] 就被匹配了，前移 j，继续跟 i 对比
# 别忘了操作数加一

dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,    # 删除
# 解释：
# 我直接把 s[i] 这个字符删掉
# 前移 i，继续跟 j 对比
# 操作数加一

dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 # 替换
# 解释：
# 我直接把 s1[i] 替换成 s2[j]，这样它俩就匹配了
# 同时前移 i，j 继续对比
# 操作数加一

现在，你应该完全理解这段短小精悍的代码了。还有点小问题就是，这个解法是暴力解法，存在重叠子问题，需要用动态规划技巧来优化。

怎么能一眼看出存在重叠子问题呢？后文 动态规划之正则表达式 有提过，这里再简单提一下，需要抽象出本文算法的递归框架：

int dp(i, j) {
    dp(i - 1, j - 1); // #1
    dp(i, j - 1);     // #2
    dp(i - 1, j);     // #3
}

对于子问题 dp(i-1, j-1)，如何通过原问题 dp(i, j) 得到呢？有不止一条路径，比如 dp(i, j) -> #1 和 dp(i, j) -> #2 -> #3。一旦发现一条重复路径，就说明存在巨量重复路径，也就是重叠子问题。

三、动态规划优化

对于重叠子问题呢，前文 动态规划详解 详细介绍过，优化方法无非是备忘录或者 DP table。

备忘录很好加，原来的代码稍加修改即可：

class Solution {
    // 备忘录
    int[][] memo;
        
    public int minDistance(String s1, String s2) {
        int m = s1.length(), n = s2.length();
        // 备忘录初始化为特殊值，代表还未计算
        memo = new int[m][n];
        for (int[] row : memo) {
            Arrays.fill(row, -1);
        }
        return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
    }

    int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
        if (i == -1) return j + 1;
        if (j == -1) return i + 1;
        // 查备忘录，避免重叠子问题
        if (memo[i][j] != -1) {
            return memo[i][j];
        }
        // 状态转移，结果存入备忘录
        if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
            memo[i][j] = dp(s1, i - 1, s2, j - 1);
        } else {
            memo[i][j] =  min(
                dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,
                dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,
                dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1
            );
        }
        return memo[i][j];
    }

    int min(int a, int b, int c) {
        return Math.min(a, Math.min(b, c));
    }
}

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

class Solution {
private:
    // 备忘录
    vector<vector<int>> memo;
    int dp(string s1, int i, string s2, int j) {
        if (i == -1) return j + 1;
        if (j == -1) return i + 1;
        // 查备忘录，避免重叠子问题
        if (memo[i][j] != -1) {
            return memo[i][j];
        }
        // 状态转移，结果存入备忘录
        if (s1[i] == s2[j]) {
            memo[i][j] = dp(s1, i - 1, s2, j - 1);
        } else {
            memo[i][j] = min(
                dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,
                dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,
                dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1
            );
        }
        return memo[i][j];
    }
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        // 备忘录初始化为特殊值，代表还未计算
        memo = vector<vector<int>>(m, vector<int>(n, -1));
        return dp(word1, m - 1, word2, n - 1);
    }
    int min(int a, int b, int c) {
        return min(a, min(b, c));
    }
};

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

class Solution:
    def __init__(self):
        self.memo = []

    def minDistance(self, s1: str, s2: str) -> int:
        m, n = len(s1), len(s2)
        # 备忘录初始化为特殊值，代表还未计算
        self.memo = [[-1] * n for _ in range(m)]
        return self.dp(s1, m - 1, s2, n - 1)

    def dp(self, s1: str, i: int, s2: str, j: int) -> int:
        if i == -1:
            return j + 1
        if j == -1:
            return i + 1

        # 查备忘录，避免重叠子问题
        if self.memo[i][j] != -1:
            return self.memo[i][j]

        # 状态转移，结果存入备忘录
        if s1[i] == s2[j]:
            self.memo[i][j] = self.dp(s1, i - 1, s2, j - 1)
        else:
            self.memo[i][j] = min(
                self.dp(s1, i, s2, j - 1) + 1,
                self.dp(s1, i - 1, s2, j) + 1,
                self.dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1
            )

        return self.memo[i][j]

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

func minDistance(s1 string, s2 string) int {
    // 备忘录
    memo := make([][]int, len(s1))
    for i := range memo {
        memo[i] = make([]int, len(s2))
        for j := range memo[i] {
            memo[i][j] = -1
        }
    }
    return dp(s1, len(s1)-1, s2, len(s2)-1, memo)
}

func dp(s1 string, i int, s2 string, j int, memo [][]int) int {
    if i == -1 {
        return j + 1
    }
    if j == -1 {
        return i + 1
    }
    // 查备忘录，避免重叠子问题
    if memo[i][j] != -1 {
        return memo[i][j]
    }
    // 状态转移，结果存入备忘录
    if s1[i] == s2[j] {
        memo[i][j] = dp(s1, i-1, s2, j-1, memo)
    } else {
        memo[i][j] = min(
            dp(s1, i, s2, j-1, memo)+1,
            dp(s1, i-1, s2, j, memo)+1,
            dp(s1, i-1, s2, j-1, memo)+1,
        )
    }
    return memo[i][j]
}

func min(a int, b int, c int) int {
    if a < b {
        if a < c {
            return a
        }
        return c
    }
    if b < c {
        return b
    }
    return c
}

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

var minDistance = function(s1, s2) {
    let memo = [];
    let m = s1.length, n = s2.length;
    //备忘录初始化为特殊值，代表还未计算
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        memo[i] = new Array(n + 1).fill(-1);
    }
    return dp(s1, m - 1, s2, n - 1, memo);
};

function dp(s1, i, s2, j, memo) {
    if (i == -1) return j + 1;
    if (j == -1) return i + 1;
    //查备忘录，避免重叠子问题
    if (memo[i][j] != -1) {
        return memo[i][j];
    }
    //状态转移，结果存入备忘录
    if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
        memo[i][j] = dp(s1, i - 1, s2, j - 1, memo);
    } else {
        memo[i][j] = Math.min(
            dp(s1, i, s2, j - 1, memo) + 1,
            dp(s1, i - 1, s2, j, memo) + 1,
            dp(s1, i - 1, s2, j - 1, memo) + 1
        );
    }
    return memo[i][j];
}

主要说下 DP table 的解法：

首先明确 dp 数组的含义，dp 数组是一个二维数组，长这样：

有了之前递归解法的铺垫，应该很容易理解。dp[..][0] 和 dp[0][..] 对应 base case，dp[i][j] 的含义和之前的 dp 函数类似：

int dp(String s1, int i, String s2, int j)
// 返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离

dp[i-1][j-1]
// 存储 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离

dp 函数的 base case 是 i, j 等于 -1，而数组索引至少是 0，所以 dp 数组会偏移一位。

既然 dp 数组和递归 dp 函数含义一样，也就可以直接套用之前的思路写代码，唯一不同的是，DP table 是自底向上求解，递归解法是自顶向下求解：

int minDistance(String s1, String s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    // base case 
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        dp[i][0] = i;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        dp[0][j] = j;
    // 自底向上求解
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/delete.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i][j - 1] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/insert.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i - 1][j - 1] + 1/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/replace.gif" class="myimage"/></div> */
                );
            }
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
}

int min(int a, int b, int c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

int minDistance(string s1, string s2) {
    int m = s1.length(), n = s2.length();
    // 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    int dp[m + 1][n + 1];
    // base case 
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        dp[i][0] = i;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        dp[0][j] = j;
    // 自底向上求解
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/delete.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i][j - 1] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/insert.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i - 1][j - 1] + 1/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/replace.gif" class="myimage"/></div> */
                );
            }
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
}

int min(int a, int b, int c) {
    return min(a, min(b, c));
}

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

def minDistance(s1: str, s2: str) -> int:
    m, n = len(s1), len(s2)
    # 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    # base case 
    for i in range(1, m + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, n + 1):
        dp[0][j] = j
    # 自底向上求解
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j] + 1,
                    # <div class="img-content"><img src="/images/editDistance/delete.gif" class="myimage"/></div>
                    dp[i][j - 1] + 1,
                    # <div class="img-content"><img src="/images/editDistance/insert.gif" class="myimage"/></div>
                    dp[i - 1][j - 1] + 1
                    # <div class="img-content"><img src="/images/editDistance/replace.gif" class="myimage"/></div>
                )
    # 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n]

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

func minDistance(s1 string, s2 string) int {
    m, n := len(s1), len(s2)
    // 定义 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := 0; i <= m; i++ {
        dp[i] = make([]int, n+1)
    }
    // base case 
    for i := 1; i <= m; i++ {
        dp[i][0] = i
    }
    for j := 1; j <= n; j++ {
        dp[0][j] = j
    }
    // 自底向上求解
    for i := 1; i <= m; i++ {
        for j := 1; j <= n; j++ {
            if s1[i-1] == s2[j-1] {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            } else {
                dp[i][j] = min(
                    dp[i-1][j]+1,
                    dp[i][j-1]+1,
                    dp[i-1][j-1]+1,
                )
            }
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n]
}

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

var minDistance = function(s1, s2) {
    var m = s1.length, n = s2.length;
    // 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
    var dp = Array.from(Array(m + 1), () => new Array(n + 1).fill(0));
    // base case 
    for (var i = 1; i <= m; i++)
        dp[i][0] = i;
    for (var j = 1; j <= n; j++)
        dp[0][j] = j;
    // 自底向上求解
    for (var i = 1; i <= m; i++) {
        for (var j = 1; j <= n; j++) {
            if (s1.charAt(i-1) === s2.charAt(j-1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = min(
                    dp[i - 1][j] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/delete.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i][j - 1] + 1,/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/insert.gif" class="myimage"/></div> */
                    dp[i - 1][j - 1] + 1/**<extend up -300><div class="img-content"><img src="/algo/images/editDistance/replace.gif" class="myimage"/></div> */
                );
            }
        }
    }
    // 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
    return dp[m][n];
};

var min = function(a, b, c) {
    return Math.min(a, Math.min(b, c));
}

三、扩展延伸

一般来说，处理两个字符串的动态规划问题，都是按本文的思路处理，建立 DP table。为什么呢，因为易于找出状态转移的关系，比如编辑距离的 DP table：

还有一个细节，既然每个 dp[i][j] 只和它附近的三个状态有关，空间复杂度是可以压缩成 O(min(M, N)) 的（M，N 是两个字符串的长度）。不难，但是可解释性大大降低，读者可以自己尝试优化一下。

你可能还会问，这里只求出了最小的编辑距离，那具体的操作是什么？你之前举的修改公众号文章的例子，只有一个最小编辑距离肯定不够，还得知道具体怎么修改才行。

这个其实很简单，代码稍加修改，给 dp 数组增加额外的信息即可：

// int[][] dp;
Node[][] dp;

class Node {
    int val;
    int choice;
    // 0 代表啥都不做
    // 1 代表插入
    // 2 代表删除
    // 3 代表替换
}

// 注意：cpp 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

class Node {
public:
    int val;
    int choice;
    // 0 代表啥都不做
    // 1 代表插入
    // 2 代表删除
    // 3 代表替换
};
Node** dp;

# 注意：python 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
# 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

class Node:
    val: int
    choice: int
    # 0 代表啥都不做
    # 1 代表插入
    # 2 代表删除
    # 3 代表替换

# dp: List[List[Node]]

// 注意：go 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

// Node struct
type Node struct {
    val    int
    choice int
    // 0 代表啥都不做
    // 1 代表插入
    // 2 代表删除
    // 3 代表替换
}

// dp array
var dp [][]Node

// 注意：javascript 代码由 chatGPT🤖 根据我的 java 代码翻译，旨在帮助不同背景的读者理解算法逻辑。
// 本代码不保证正确性，仅供参考。如有疑惑，可以参照我写的 java 代码对比查看。

// var dp;
var dp = [[]];

function Node() {
    this.val = 0;
    this.choice = 0; // 0 代表啥都不做
                     // 1 代表插入
                     // 2 代表删除
                     // 3 代表替换
}

val 属性就是之前的 dp 数组的数值，choice 属性代表操作。在做最优选择时，顺便把操作记录下来，然后就从结果反推具体操作。

我们的最终结果不是 dp[m][n] 吗，这里的 val 存着最小编辑距离，choice 存着最后一个操作，比如说是插入操作，那么就可以左移一格：

重复此过程，可以一步步回到起点 dp[0][0]，形成一条路径，按这条路径上的操作进行编辑，就是最佳方案。

---

引用本文的文章

动态规划之子序列问题解题模板 最优子结构原理和 dp 数组遍历方向 目标和：背包问题的变体

---

---

引用本文的题目

安装 我的 Chrome 刷题插件 点开下列题目可直接查看解题思路：

LeetCode	力扣
97. Interleaving String	97. 交错字符串

---

《labuladong 的算法小抄》已经出版，关注公众号查看详情；后台回复「全家桶」可下载配套 PDF 和刷题全家桶：