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经典回溯算法:集合划分问题

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode 力扣 难度
698. Partition to K Equal Sum Subsets 698. 划分为k个相等的子集 🟠

———–

之前说过回溯算法是笔试中最好用的算法,只要你没什么思路,就用回溯算法暴力求解,即便不能通过所有测试用例,多少能过一点。

回溯算法的技巧也不难,前文 回溯算法框架套路 说过,回溯算法就是穷举一棵决策树的过程,只要在递归之前「做选择」,在递归之后「撤销选择」就行了。

但是,就算暴力穷举,不同的思路也有优劣之分

本文就来看一道非常经典的回溯算法问题,力扣第 698 题「 划分为k个相等的子集」。这道题可以帮你更深刻理解回溯算法的思维,得心应手地写出回溯函数。

题目非常简单:

给你输入一个数组 nums 和一个正整数 k,请你判断 nums 是否能够被平分为元素和相同的 k 个子集。

函数签名如下:

boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k);

我们之前 背包问题之子集划分 写过一次子集划分问题,不过那道题只需要我们把集合划分成两个相等的集合,可以转化成背包问题用动态规划技巧解决。

思考题:为什么划分成两个相等的子集可以转化成背包问题用动态规划思路解决,而划分成 k 个相等的子集就不可以转化成背包问题,只能用回溯算法暴力穷举?请先尝试自己思考,我会在文末给出答案。

但是如果划分成多个相等的集合,解法一般只能通过暴力穷举,时间复杂度爆表,是练习回溯算法和递归思维的好机会。

一、思路分析

首先,我们回顾一下以前学过的排列组合知识:

1、P(n, k)(也有很多书写成 A(n, k))表示从 n 个不同元素中拿出 k 个元素的排列(Permutation/Arrangement);C(n, k) 表示从 n 个不同元素中拿出 k 个元素的组合(Combination)总数。

2、「排列」和「组合」的主要区别在于是否考虑顺序的差异。

3、排列、组合总数的计算公式:

好,现在我问一个问题,这个排列公式 P(n, k) 是如何推导出来的?为了搞清楚这个问题,我需要讲一点组合数学的知识。

排列组合问题的各种变体都可以抽象成「球盒模型」,P(n, k) 就可以抽象成下面这个场景:

即,将 n 个标记了不同序号的球(标号为了体现顺序的差异),放入 k 个标记了不同序号的盒子中(其中 n >= k,每个盒子最终都装有恰好一个球),共有 P(n, k) 种不同的方法。

现在你来,往盒子里放球,你怎么放?其实有两种视角。

首先,你可以站在盒子的视角,每个盒子必然要选择一个球。

这样,第一个盒子可以选择 n 个球中的任意一个,然后你需要让剩下 k - 1 个盒子在 n - 1 个球中选择:

另外,你也可以站在球的视角,因为并不是每个球都会被装进盒子,所以球的视角分两种情况:

1、第一个球可以不装进任何一个盒子,这样的话你就需要将剩下 n - 1 个球放入 k 个盒子。

2、第一个球可以装进 k 个盒子中的任意一个,这样的话你就需要将剩下 n - 1 个球放入 k - 1 个盒子。

结合上述两种情况,可以得到:

你看,两种视角得到两个不同的递归式,但这两个递归式解开的结果都是我们熟知的阶乘形式:

至于如何解递归式,涉及数学的内容比较多,这里就不做深入探讨了,有兴趣的读者可以自行学习组合数学相关知识。

回到正题,这道算法题让我们求子集划分,子集问题和排列组合问题有所区别,但我们可以借鉴「球盒模型」的抽象,用两种不同的视角来解决这道子集划分问题。

把装有 n 个数字的数组 nums 分成 k 个和相同的集合,你可以想象将 n 个数字分配到 k 个「桶」里,最后这 k 个「桶」里的数字之和要相同。

前文 回溯算法框架套路 说过,回溯算法的关键在哪里?

关键是要知道怎么「做选择」,这样才能利用递归函数进行穷举。

那么模仿排列公式的推导思路,将 n 个数字分配到 k 个桶里,我们也可以有两种视角:

视角一,如果我们切换到这 n 个数字的视角,每个数字都要选择进入到 k 个桶中的某一个

视角二,如果我们切换到这 k 个桶的视角,对于每个桶,都要遍历 nums 中的 n 个数字,然后选择是否将当前遍历到的数字装进自己这个桶里

你可能问,这两种视角有什么不同?

用不同的视角进行穷举,虽然结果相同,但是解法代码的逻辑完全不同,进而算法的效率也会不同;对比不同的穷举视角,可以帮你更深刻地理解回溯算法,我们慢慢道来

二、以数字的视角

用 for 循环迭代遍历 nums 数组大家肯定都会:

for (int index = 0; index < nums.length; index++) {
    System.out.println(nums[index]);
}

递归遍历数组你会不会?其实也很简单:

void traverse(int[] nums, int index) {
    if (index == nums.length) {
        return;
    }
    System.out.println(nums[index]);
    traverse(nums, index + 1);
}

只要调用 traverse(nums, 0),和 for 循环的效果是完全一样的。

那么回到这道题,以数字的视角,选择 k 个桶,用 for 循环写出来是下面这样:

// k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
int[] bucket = new int[k];

// 穷举 nums 中的每个数字
for (int index = 0; index < nums.length; index++) {
    // 穷举每个桶
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        // nums[index] 选择是否要进入第 i 个桶
        // ...
    }
}

如果改成递归的形式,就是下面这段代码逻辑:

// k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
int[] bucket = new int[k];

// 穷举 nums 中的每个数字
void backtrack(int[] nums, int index) {
    // base case
    if (index == nums.length) {
        return;
    }
    // 穷举每个桶
    for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
        // 选择装进第 i 个桶
        bucket[i] += nums[index];
        // 递归穷举下一个数字的选择
        backtrack(nums, index + 1);
        // 撤销选择
        bucket[i] -= nums[index];
    }
}

虽然上述代码仅仅是穷举逻辑,还不能解决我们的问题,但是只要略加完善即可:

// 主函数
boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 排除一些基本情况
    if (k > nums.length) return false;
    int sum = 0;
    for (int v : nums) sum += v;
    if (sum % k != 0) return false;

    // k 个桶(集合),记录每个桶装的数字之和
    int[] bucket = new int[k];
    // 理论上每个桶(集合)中数字的和
    int target = sum / k;
    // 穷举,看看 nums 是否能划分成 k 个和为 target 的子集
    return backtrack(nums, 0, bucket, target);
}

// 递归穷举 nums 中的每个数字
boolean backtrack(
    int[] nums, int index, int[] bucket, int target) {

    if (index == nums.length) {
        // 检查所有桶的数字之和是否都是 target
        for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
            if (bucket[i] != target) {
                return false;
            }
        }
        // nums 成功平分成 k 个子集
        return true;
    }
    
    // 穷举 nums[index] 可能装入的桶
    for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
        // 剪枝,桶装装满了
        if (bucket[i] + nums[index] > target) {
            continue;
        }
        // 将 nums[index] 装入 bucket[i]
        bucket[i] += nums[index];/**<extend down -200><img src="/algo/images/集合划分/5.jpeg"> */
        // 递归穷举下一个数字的选择
        if (backtrack(nums, index + 1, bucket, target)) {
            return true;
        }
        // 撤销选择
        bucket[i] -= nums[index];
    }

    // nums[index] 装入哪个桶都不行
    return false;
}

有之前的铺垫,相信这段代码是比较容易理解的,其实我们可以再做一个优化。

主要看 backtrack 函数的递归部分:

for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
    // 剪枝
    if (bucket[i] + nums[index] > target) {
        continue;
    }

    if (backtrack(nums, index + 1, bucket, target)) {
        return true;
    }
}

如果我们让尽可能多的情况命中剪枝的那个 if 分支,就可以减少递归调用的次数,一定程度上减少时间复杂度

如何尽可能多的命中这个 if 分支呢?要知道我们的 index 参数是从 0 开始递增的,也就是递归地从 0 开始遍历 nums 数组。

如果我们提前对 nums 数组排序,把大的数字排在前面,那么大的数字会先被分配到 bucket 中,对于之后的数字,bucket[i] + nums[index] 会更大,更容易触发剪枝的 if 条件。

所以可以在之前的代码中再添加一些代码:

boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 其他代码不变
    // ...
    /* 降序排序 nums 数组 */
    Arrays.sort(nums);
    for (i = 0, j = nums.length - 1; i < j; i++, j--) {
        // 交换 nums[i] 和 nums[j]
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }
    /*******************/
    return backtrack(nums, 0, bucket, target);
}

由于 Java 的语言特性,这段代码通过先升序排序再反转,达到降序排列的目的。

这个解法可以得到正确答案,但耗时比较多,已经无法通过所有测试用例了,接下来看看另一种视角的解法。

三、以桶的视角

文章开头说了,以桶的视角进行穷举,每个桶需要遍历 nums 中的所有数字,决定是否把当前数字装进桶中;当装满一个桶之后,还要装下一个桶,直到所有桶都装满为止

这个思路可以用下面这段代码表示出来:

// 装满所有桶为止
while (k > 0) {
    // 记录当前桶中的数字之和
    int bucket = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 决定是否将 nums[i] 放入当前桶中
        if (canAdd(bucket, num[i])) {
            bucket += nums[i];
        }
        if (bucket == target) {
            // 装满了一个桶,装下一个桶
            k--;
            break;
        }
    }
}

那么我们也可以把这个 while 循环改写成递归函数,不过比刚才略微复杂一些,首先写一个 backtrack 递归函数出来:

boolean backtrack(int k, int bucket, 
    int[] nums, int start, boolean[] used, int target);

不要被这么多参数吓到,我会一个个解释这些参数。如果你能够透彻理解本文,也能得心应手地写出这样的回溯函数

这个 backtrack 函数的参数可以这样解释:

现在 k 号桶正在思考是否应该把 nums[start] 这个元素装进来;目前 k 号桶里面已经装的数字之和为 bucketused 标志某一个元素是否已经被装到桶中;target 是每个桶需要达成的目标和。

根据这个函数定义,可以这样调用 backtrack 函数:

boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 排除一些基本情况
    if (k > nums.length) return false;
    int sum = 0;
    for (int v : nums) sum += v;
    if (sum % k != 0) return false;
    
    boolean[] used = new boolean[nums.length];
    int target = sum / k;
    // k 号桶初始什么都没装,从 nums[0] 开始做选择
    return backtrack(k, 0, nums, 0, used, target);
}

实现 backtrack 函数的逻辑之前,再重复一遍,从桶的视角:

1、需要遍历 nums 中所有数字,决定哪些数字需要装到当前桶中。

2、如果当前桶装满了(桶内数字和达到 target),则让下一个桶开始执行第 1 步。

下面的代码就实现了这个逻辑:

boolean backtrack(int k, int bucket, 
    int[] nums, int start, boolean[] used, int target) {
    // base case
    if (k == 0) {
        // 所有桶都被装满了,而且 nums 一定全部用完了
        // 因为 target == sum / k
        return true;
    }
    if (bucket == target) {/**<extend down -200><img src="/algo/images/集合划分/6.jpeg"> */
        // 装满了当前桶,递归穷举下一个桶的选择
        // 让下一个桶从 nums[0] 开始选数字
        return backtrack(k - 1, 0 ,nums, 0, used, target);
    }

    // 从 start 开始向后探查有效的 nums[i] 装入当前桶
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝
        if (used[i]) {
            // nums[i] 已经被装入别的桶中
            continue;
        }
        if (nums[i] + bucket > target) {
            // 当前桶装不下 nums[i]
            continue;
        }
        // 做选择,将 nums[i] 装入当前桶中
        used[i] = true;
        bucket += nums[i];
        // 递归穷举下一个数字是否装入当前桶
        if (backtrack(k, bucket, nums, i + 1, used, target)) {
            return true;
        }
        // 撤销选择
        used[i] = false;
        bucket -= nums[i];
    }
    // 穷举了所有数字,都无法装满当前桶
    return false;
}

这段代码是可以得出正确答案的,但是效率很低,我们可以思考一下是否还有优化的空间

首先,在这个解法中每个桶都可以认为是没有差异的,但是我们的回溯算法却会对它们区别对待,这里就会出现重复计算的情况。

什么意思呢?我们的回溯算法,说到底就是穷举所有可能的组合,然后看是否能找出和为 targetk 个桶(子集)。

那么,比如下面这种情况,target = 5,算法会在第一个桶里面装 1, 4

现在第一个桶装满了,就开始装第二个桶,算法会装入 2, 3

然后以此类推,对后面的元素进行穷举,凑出若干个和为 5 的桶(子集)。

但问题是,如果最后发现无法凑出和为 targetk 个子集,算法会怎么做?

回溯算法会回溯到第一个桶,重新开始穷举,现在它知道第一个桶里装 1, 4 是不可行的,它会尝试把 2, 3 装到第一个桶里:

现在第一个桶装满了,就开始装第二个桶,算法会装入 1, 4

好,到这里你应该看出来问题了,这种情况其实和之前的那种情况是一样的。也就是说,到这里你其实已经知道不需要再穷举了,必然凑不出来和为 targetk 个子集。

但我们的算法还是会傻乎乎地继续穷举,因为在她看来,第一个桶和第二个桶里面装的元素不一样,那这就是两种不一样的情况呀。

那么我们怎么让算法的智商提高,识别出这种情况,避免冗余计算呢?

你注意这两种情况的 used 数组肯定长得一样,所以 used 数组可以认为是回溯过程中的「状态」。

所以,我们可以用一个 memo 备忘录,在装满一个桶时记录当前 used 的状态,如果当前 used 的状态是曾经出现过的,那就不用再继续穷举,从而起到剪枝避免冗余计算的作用

有读者肯定会问,used 是一个布尔数组,怎么作为键进行存储呢?这其实是小问题,比如我们可以把数组转化成字符串,这样就可以作为哈希表的键进行存储了。

看下代码实现,只要稍微改一下 backtrack 函数即可:

// 备忘录,存储 used 数组的状态
HashMap<String, Boolean> memo = new HashMap<>();

boolean backtrack(int k, int bucket, int[] nums, int start, boolean[] used, int target) {        
    // base case
    if (k == 0) {
        return true;
    }
    // 将 used 的状态转化成形如 [true, false, ...] 的字符串
    // 便于存入 HashMap
    String state = Arrays.toString(used);

    if (bucket == target) {
        // 装满了当前桶,递归穷举下一个桶的选择
        boolean res = backtrack(k - 1, 0, nums, 0, used, target);
        // 将当前状态和结果存入备忘录
        memo.put(state, res);
        return res;
    }
    
    if (memo.containsKey(state)) {
        // 如果当前状态曾今计算过,就直接返回,不要再递归穷举了
        return memo.get(state);
    }

    // 其他逻辑不变...
}

这样提交解法,发现执行效率依然比较低,这次不是因为算法逻辑上的冗余计算,而是代码实现上的问题。

因为每次递归都要把 used 数组转化成字符串,这对于编程语言来说也是一个不小的消耗,所以我们还可以进一步优化

注意题目给的数据规模 nums.length <= 16,也就是说 used 数组最多也不会超过 16,那么我们完全可以用「位图」的技巧,用一个 int 类型的 used 变量来替代 used 数组。

具体来说,我们可以用整数 used 的第 i 位((used >> i) & 1)的 1/0 来表示 used[i] 的 true/false。

这样一来,不仅节约了空间,而且整数 used 也可以直接作为键存入 HashMap,省去数组转字符串的消耗。

看下最终的解法代码:

public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
    // 排除一些基本情况
    if (k > nums.length) return false;
    int sum = 0;
    for (int v : nums) sum += v;
    if (sum % k != 0) return false;
    
    int used = 0; // 使用位图技巧
    int target = sum / k;
    // k 号桶初始什么都没装,从 nums[0] 开始做选择
    return backtrack(k, 0, nums, 0, used, target);
}

HashMap<Integer, Boolean> memo = new HashMap<>();

boolean backtrack(int k, int bucket,
                  int[] nums, int start, int used, int target) {        
    // base case
    if (k == 0) {
        // 所有桶都被装满了,而且 nums 一定全部用完了
        return true;
    }
    if (bucket == target) {
        // 装满了当前桶,递归穷举下一个桶的选择
        // 让下一个桶从 nums[0] 开始选数字
        boolean res = backtrack(k - 1, 0, nums, 0, used, target);
        // 缓存结果
        memo.put(used, res);
        return res;
    }
    
    if (memo.containsKey(used)) {
        // 避免冗余计算
        return memo.get(used);
    }

    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝
        if (((used >> i) & 1) == 1) { // 判断第 i 位是否是 1
            // nums[i] 已经被装入别的桶中
            continue;
        }
        if (nums[i] + bucket > target) {
            continue;
        }
        // 做选择
        used |= 1 << i; // 将第 i 位置为 1
        bucket += nums[i];
        // 递归穷举下一个数字是否装入当前桶
        if (backtrack(k, bucket, nums, i + 1, used, target)) {
            return true;
        }
        // 撤销选择
        used ^= 1 << i; // 使用异或运算将第 i 位恢复 0
        bucket -= nums[i];
    }

    return false;
}

至此,这道题的第二种思路也完成了。

四、最后总结

本文写的这两种思路都可以算出正确答案,不过第一种解法即便经过了排序优化,也明显比第二种解法慢很多,这是为什么呢?

我们来分析一下这两个算法的时间复杂度,假设 nums 中的元素个数为 n

先说第一个解法,也就是从数字的角度进行穷举,n 个数字,每个数字有 k 个桶可供选择,所以组合出的结果个数为 k^n,时间复杂度也就是 O(k^n)

第二个解法,每个桶要遍历 n 个数字,对每个数字有「装入」或「不装入」两种选择,所以组合的结果有 2^n 种;而我们有 k 个桶,所以总的时间复杂度为 O(k*2^n)

当然,这是对最坏复杂度上界的粗略估算,实际的复杂度肯定要好很多,毕竟我们添加了这么多剪枝逻辑。不过,从复杂度的上界已经可以看出第一种思路要慢很多了。

所以,谁说回溯算法没有技巧性的?虽然回溯算法就是暴力穷举,但穷举也分聪明的穷举方式和低效的穷举方式,关键看你以谁的「视角」进行穷举。

通俗来说,我们应该尽量「少量多次」,就是说宁可多做几次选择(乘法关系),也不要给太大的选择空间(指数关系);做 n 次「k 选一」仅重复一次(O(k^n)),比 n 次「二选一」重复 k 次(O(k*2^n))效率低很多。

好了,这道题我们从两种视角进行穷举,虽然代码量看起来多,但核心逻辑都是类似的,相信你通过本文能够更深刻地理解回溯算法。

文中思考题答案:为什么划分两个相等的子集可以转化成背包问题?

0-1 背包问题 的场景中,有一个背包和若干物品,每个物品有两个选择,分别是「装进背包」和「不装进背包」。把原集合 S 划分成两个相等子集 S_1, S_2 的场景下,S 中的每个元素也有两个选择,分别是「装进 S_1」和「不装进 S_1(装进 S_2)」,这时候的穷举思路其实和背包问题相同。

但如果你想把 S 划分成 k 个相等的子集,相当于 S 中的每个元素有 k 个选择,这和标准背包问题的场景有本质区别,是无法套用背包问题的解题思路的。


引用本文的文章

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