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动态规划设计:最大子数组

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode 力扣 难度
53. Maximum Subarray 53. 最大子数组和 🟢
- 剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和 🟢

———–

力扣第 53 题「 最大子序和」问题和前文讲过的 经典动态规划:最长递增子序列 的套路非常相似,代表着一类比较特殊的动态规划问题的思路,题目如下:

给你输入一个整数数组 nums,请你找在其中找一个和最大的子数组,返回这个子数组的和。函数签名如下:

int maxSubArray(int[] nums);

比如说输入 nums = [-3,1,3,-1,2,-4,2],算法返回 5,因为最大子数组 [1,3,-1,2] 的和为 5。

其实第一次看到这道题,我首先想到的是滑动窗口算法,因为我们前文说过嘛,滑动窗口算法就是专门处理子串/子数组问题的,这里不就是子数组问题么?

前文 滑动窗口算法框架详解 中讲过,想用滑动窗口算法,先问自己几个问题:

1、什么时候应该扩大窗口?

2、什么时候应该缩小窗口?

3、什么时候更新答案?

我之前认为这题用不了滑动窗口算法,因为我认为 nums 中包含负数,所以无法确定什么时候扩大和缩小窗口。但经读者评论的启发,发现这道题确实是可以用滑动窗口技巧解决的。

我们可以在窗口内元素之和大于等于 0 时扩大窗口,在窗口内元素之和小于 0 时缩小窗口,在每次移动窗口时更新答案。先直接看解法代码,待会儿再解释:

int maxSubArray(int[] nums) {
    int left = 0, right = 0;
    int windowSum = 0, maxSum = Integer.MIN_VALUE;
    while(right < nums.length){
        // 扩大窗口并更新窗口内的元素和
        windowSum += nums[right];
        right++;

        // 更新答案
        maxSum = windowSum > maxSum ? windowSum : maxSum;

        // 判断窗口是否要收缩
        while(windowSum < 0) {
            // 缩小窗口并更新窗口内的元素和
            windowSum -=  nums[left];
            left++;
        }
    }
    return maxSum;
}

结合前文 滑动窗口算法框架详解 给出的滑动窗口代码框架,这段代码的结构应该很清晰,我主要解释一下为什么这个逻辑是正确的。

首先讨论一种特殊情况,就是 nums 中全是负数的时候,此时算法是可以得到正确答案的。

接下来讨论一般情况,nums 中有正有负,这种情况下元素和最大的那个子数组一定是以正数开头的(以负数开头的话,把这个负数去掉,就可以得到和更大的子数组了,与假设相矛盾)。那么此时我们需要穷举所有以正数开头的子数组,计算他们的元素和,找到元素和最大的那个子数组。

说到这里,解法代码的逻辑应该就清晰了。算法只有在窗口元素和大于 0 时才会不断扩大窗口,并且在扩大窗口时更新答案,这其实就是在穷举所有正数开头的子数组,寻找子数组和最大的那个,所以这段代码能够得到正确的结果。

动态规划思路

解决这个问题还可以用动态规划技巧解决,但是 dp 数组的定义比较特殊。按照我们常规的动态规划思路,一般是这样定义 dp 数组:

nums[0..i] 中的「最大的子数组和」为 dp[i]

如果这样定义的话,整个 nums 数组的「最大子数组和」就是 dp[n-1]。如何找状态转移方程呢?按照数学归纳法,假设我们知道了 dp[i-1],如何推导出 dp[i] 呢?

如下图,按照我们刚才对 dp 数组的定义,dp[i] = 5 ,也就是等于 nums[0..i] 中的最大子数组和:

那么在上图这种情况中,利用数学归纳法,你能用 dp[i] 推出 dp[i+1] 吗?

实际上是不行的,因为子数组一定是连续的,按照我们当前 dp 数组定义,并不能保证 nums[0..i] 中的最大子数组与 nums[i+1] 是相邻的,也就没办法从 dp[i] 推导出 dp[i+1]

所以说我们这样定义 dp 数组是不正确的,无法得到合适的状态转移方程。对于这类子数组问题,我们就要重新定义 dp 数组的含义:

nums[i] 为结尾的「最大子数组和」为 dp[i]

这种定义之下,想得到整个 nums 数组的「最大子数组和」,不能直接返回 dp[n-1],而需要遍历整个 dp 数组:

int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

依然使用数学归纳法来找状态转移关系:假设我们已经算出了 dp[i-1],如何推导出 dp[i] 呢?

可以做到,dp[i] 有两种「选择」,要么与前面的相邻子数组连接,形成一个和更大的子数组;要么不与前面的子数组连接,自成一派,自己作为一个子数组。

如何选择?既然要求「最大子数组和」,当然选择结果更大的那个啦:

// 要么自成一派,要么和前面的子数组合并
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);

综上,我们已经写出了状态转移方程,就可以直接写出解法了:

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    // 定义:dp[i] 记录以 nums[i] 为结尾的「最大子数组和」
    int[] dp = new int[n];
    // base case
    // 第一个元素前面没有子数组
    dp[0] = nums[0];
    // 状态转移方程
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
    }
    // 得到 nums 的最大子数组
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

以上解法时间复杂度是 O(N),空间复杂度也是 O(N),较暴力解法已经很优秀了,不过注意到 dp[i] 仅仅和 dp[i-1] 的状态有关,那么我们可以施展前文 动态规划的降维打击:空间压缩技巧 讲的技巧进行进一步优化,将空间复杂度降低:

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    // base case
    int dp_0 = nums[0];
    int dp_1 = 0, res = dp_0;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
        dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
        dp_0 = dp_1;
        // 顺便计算最大的结果
        res = Math.max(res, dp_1);
    }
    
    return res;
}

前缀和思路

在动态规划解法中,我们通过状态转移方程推导以 nums[i] 结尾的最大子数组和,其实用前文 小而美的算法技巧:前缀和数组 讲过的前缀和数组也可以达到相同的效果。

回顾一下,前缀和数组 preSum 就是 nums 元素的累加和,preSum[i+1] - preSum[j] 其实就是子数组 nums[j..i] 之和(根据 preSum 数组的实现,索引 0 是占位符,所以 i 有一位索引偏移)。

那么反过来想,以 nums[i] 为结尾的最大子数组之和是多少?其实就是 preSum[i+1] - min(preSum[0..i])

所以,我们可以利用前缀和数组计算以每个元素结尾的子数组之和,进而得到和最大的子数组:

// 前缀和技巧解题
int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] preSum = new int[n + 1];
    preSum[0] = 0;
    // 构造 nums 的前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
    }
    
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    int minVal = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 维护 minVal 是 preSum[0..i] 的最小值
        minVal = Math.min(minVal, preSum[i]);
        // 以 nums[i] 结尾的最大子数组和就是 preSum[i+1] - min(preSum[0..i])
        res = Math.max(res, preSum[i + 1] - minVal);
    }
    return res;
}

至此,前缀和解法也完成了。

简单总结下动态规划解法吧,虽然说状态转移方程确实有点玄学,但大部分还是有些规律可循的,跑不出那几个套路。像子数组、子序列这类问题,你就可以尝试定义 dp[i] 是以 nums[i] 为结尾的最大子数组和/最长递增子序列,因为这样定义更容易将 dp[i+1]dp[i] 建立起联系,利用数学归纳法写出状态转移方程。


引用本文的题目

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LeetCode 力扣
256. Paint House🔒 256. 粉刷房子🔒
- 剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和
- 剑指 Offer II 091. 粉刷房子

引用本文的文章

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