如何寻找缺失和重复的元素

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

645.错误的集合(简单)


今天就聊一道很看起来简单却十分巧妙的问题,寻找缺失和重复的元素。之前的一篇文章「寻找缺失元素」也写过类似的问题,不过这次的和上次的问题使用的技巧不同。

这是 LeetCode 645 题,我来描述一下这个题目:

给一个长度为 N 的数组 nums,其中本来装着 [1..N]N 个元素,无序。但是现在出现了一些错误,nums 中的一个元素出现了重复,也就同时导致了另一个元素的缺失。请你写一个算法,找到 nums 中的重复元素和缺失元素的值。

// 返回两个数字,分别是 {dup, missing}
vector<int> findErrorNums(vector<int>& nums);

比如说输入:nums = [1,2,2,4],算法返回 [2,3]

其实很容易解决这个问题,先遍历一次数组,用一个哈希表记录每个数字出现的次数,然后遍历一次 [1..N],看看那个元素重复出现,那个元素没有出现,就 OK 了。

但问题是,这个常规解法需要一个哈希表,也就是 O(N) 的空间复杂度。你看题目给的条件那么巧,在 [1..N] 的几个数字中恰好有一个重复,一个缺失,事出反常必有妖,对吧。

O(N) 的时间复杂度遍历数组是无法避免的,所以我们可以想想办法如何降低空间复杂度,是否可以在 O(1) 的空间复杂度之下找到重复和确实的元素呢?

思路分析

这个问题的特点是,每个元素和数组索引有一定的对应关系。

我们现在自己改造下问题,暂且将 nums 中的元素变为 [0..N-1],这样每个元素就和一个数组索引完全对应了,这样方便理解一些

如果说 nums 中不存在重复元素和缺失元素,那么每个元素就和唯一一个索引值对应,对吧?

现在的问题是,有一个元素重复了,同时导致一个元素缺失了,这会产生什么现象呢?会导致有两个元素对应到了同一个索引,而且会有一个索引没有元素对应过去

那么,如果我能够通过某些方法,找到这个重复对应的索引,不就是找到了那个重复元素么?找到那个没有元素对应的索引,不就是找到了那个缺失的元素了么?

那么,如何不使用额外空间判断某个索引有多少个元素对应呢?这就是这个问题的精妙之处了:

通过将每个索引对应的元素变成负数,以表示这个索引被对应过一次了

如果出现重复元素 4,直观结果就是,索引 4 所对应的元素已经是负数了:

对于缺失元素 3,直观结果就是,索引 3 所对应的元素是正数:

对于这个现象,我们就可以翻译成代码了:

vector<int> findErrorNums(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    int dup = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int index = abs(nums[i]);
        // nums[index] 小于 0 则说明重复访问
        if (nums[index] < 0)
            dup = abs(nums[i]);
        else
            nums[index] *= -1;
    }

    int missing = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        // nums[i] 大于 0 则说明没有访问
        if (nums[i] > 0)
            missing = i;

    return {dup, missing};
}

这个问题就基本解决了,别忘了我们刚才为了方便分析,假设元素是 [0..N-1],但题目要求是 [1..N],所以只要简单修改两处地方即可得到原题的答案:

vector<int> findErrorNums(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    int dup = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 现在的元素是从 1 开始的
        int index = abs(nums[i]) - 1;
        if (nums[index] < 0)
            dup = abs(nums[i]);
        else
            nums[index] *= -1;
    }

    int missing = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (nums[i] > 0)
            // 将索引转换成元素
            missing = i + 1;

    return {dup, missing};
}

其实,元素从 1 开始是有道理的,也必须从一个非零数开始。因为如果元素从 0 开始,那么 0 的相反数还是自己,所以如果数字 0 出现了重复或者缺失,算法就无法判断 0 是否被访问过。我们之前的假设只是为了简化题目,更通俗易懂。

最后总结

对于这种数组问题,关键点在于元素和索引是成对儿出现的,常用的方法是排序、异或、映射

映射的思路就是我们刚才的分析,将每个索引和元素映射起来,通过正负号记录某个元素是否被映射。

排序的方法也很好理解,对于这个问题,可以想象如果元素都被从小到大排序,如果发现索引对应的元素如果不相符,就可以找到重复和缺失的元素。

异或运算也是常用的,因为异或性质 a ^ a = 0, a ^ 0 = a,如果将索引和元素同时异或,就可以消除成对儿的索引和元素,留下的就是重复或者缺失的元素。可以看看前文「寻找缺失元素」,介绍过这种方法。

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