信封嵌套问题

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

354.俄罗斯套娃信封问题(困难)


很多算法问题都需要排序技巧,其难点不在于排序本身,而是需要巧妙地排序进行预处理,将算法问题进行转换,为之后的操作打下基础。

信封嵌套问题就需要先按特定的规则排序,之后就转换为一个 最长递增子序列问题,可以用前文 二分查找详解 的技巧来解决了。

一、题目概述

信封嵌套问题是个很有意思且经常出现在生活中的问题,先看下题目:

title

这道题目其实是最长递增子序列(Longes Increasing Subsequence,简写为 LIS)的一个变种,因为很显然,每次合法的嵌套是大的套小的,相当于找一个最长递增的子序列,其长度就是最多能嵌套的信封个数。

但是难点在于,标准的 LIS 算法只能在数组中寻找最长子序列,而我们的信封是由 (w, h) 这样的二维数对形式表示的,如何把 LIS 算法运用过来呢?

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读者也许会想,通过 w × h 计算面积,然后对面积进行标准的 LIS 算法。但是稍加思考就会发现这样不行,比如 1 × 10 大于 3 × 3,但是显然这样的两个信封是无法互相嵌套的。

二、解法

这道题的解法是比较巧妙的:

先对宽度 w 进行升序排序,如果遇到 w 相同的情况,则按照高度 h 降序排序。之后把所有的 h 作为一个数组,在这个数组上计算 LIS 的长度就是答案。

画个图理解一下,先对这些数对进行排序:

1

然后在 h 上寻找最长递增子序列:

2

这个子序列就是最优的嵌套方案。

这个解法的关键在于,对于宽度 w 相同的数对,要对其高度 h 进行降序排序。因为两个宽度相同的信封不能相互包含的,逆序排序保证在 w 相同的数对中最多只选取一个。

下面看代码:

// envelopes = [[w, h], [w, h]...]
public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {
    int n = envelopes.length;
    // 按宽度升序排列,如果宽度一样,则按高度降序排列
    Arrays.sort(envelopes, new Comparator<int[]>() 
    {
        public int compare(int[] a, int[] b) {
            return a[0] == b[0] ? 
                b[1] - a[1] : a[0] - b[0];
        }
    });
    // 对高度数组寻找 LIS
    int[] height = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        height[i] = envelopes[i][1];

    return lengthOfLIS(height);
}

关于最长递增子序列的寻找方法,在前文中详细介绍了动态规划解法,并用扑克牌游戏解释了二分查找解法,本文就不展开了,直接套用算法模板:

/* 返回 nums 中 LIS 的长度 */
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int piles = 0, n = nums.length;
    int[] top = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 要处理的扑克牌
        int poker = nums[i];
        int left = 0, right = piles;
        // 二分查找插入位置
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (top[mid] >= poker)
                right = mid;
            else
                left = mid + 1;
        }
        if (left == piles) piles++;
        // 把这张牌放到牌堆顶
        top[left] = poker;
    }
    // 牌堆数就是 LIS 长度
    return piles;
}

为了清晰,我将代码分为了两个函数, 你也可以合并,这样可以节省下 height 数组的空间。

此算法的时间复杂度为 O(NlogN),因为排序和计算 LIS 各需要 O(NlogN) 的时间。

空间复杂度为 O(N),因为计算 LIS 的函数中需要一个 top 数组。

三、总结

这个问题是个 Hard 级别的题目,难就难在排序,正确地排序后此问题就被转化成了一个标准的 LIS 问题,容易解决一些。

其实这种问题还可以拓展到三维,比如说现在不是让你嵌套信封,而是嵌套箱子,每个箱子有长宽高三个维度,请你算算最多能嵌套几个箱子?

我们可能会这样想,先把前两个维度(长和宽)按信封嵌套的思路求一个嵌套序列,最后在这个序列的第三个维度(高度)找一下 LIS,应该能算出答案。

实际上,这个思路是错误的。这类问题叫做「偏序问题」,上升到三维会使难度巨幅提升,需要借助一种高级数据结构「树状数组」,有兴趣的读者可以自行搜索。

有很多算法问题都需要排序后进行处理,阿东正在进行整理总结。希望本文对你有帮助。

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