特殊数据结构:单调队列

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

239.滑动窗口最大值(困难)


前文用 单调栈解决三道算法问题 介绍了单调栈这种特殊数据结构,本文写一个类似的数据结构「单调队列」。

也许这种数据结构的名字你没听过,其实没啥难的,就是一个「队列」,只是使用了一点巧妙的方法,使得队列中的元素全都是单调递增(或递减)的

「单调栈」主要解决 Next Great Number 一类算法问题,而「单调队列」这个数据结构可以解决滑动窗口相关的问题,比如说力扣第 239 题「滑动窗口最大值」,难度 Hard:

给你输入一个数组 nums 和一个正整数 k,有一个大小为 k 的窗口在 nums 上从左至右滑动,请你输出每次窗口中 k 个元素的最大值。

函数签名如下:

int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k);

比如说力扣给出的一个示例:

一、搭建解题框架

这道题不复杂,难点在于如何在 O(1) 时间算出每个「窗口」中的最大值,使得整个算法在线性时间完成。这种问题的一个特殊点在于,「窗口」是不断滑动的,也就是你得动态地计算窗口中的最大值。

对于这种动态的场景,很容易得到一个结论:

在一堆数字中,已知最值为 A,如果给这堆数添加一个数 B,那么比较一下 AB 就可以立即算出新的最值;但如果减少一个数,就不能直接得到最值了,因为如果减少的这个数恰好是 A,就需要遍历所有数重新找新的最值

回到这道题的场景,每个窗口前进的时候,要添加一个数同时减少一个数,所以想在 O(1) 的时间得出新的最值,不是那么容易的,需要「单调队列」这种特殊的数据结构来辅助。

一个普通的队列一定有这两个操作:

class Queue {
    // enqueue 操作,在队尾加入元素 n
    void push(int n);
    // dequeue 操作,删除队头元素
    void pop();
}

一个「单调队列」的操作也差不多:

class MonotonicQueue {
    // 在队尾添加元素 n
    void push(int n);
    // 返回当前队列中的最大值
    int max();
    // 队头元素如果是 n,删除它
    void pop(int n);
}

当然,这几个 API 的实现方法肯定跟一般的 Queue 不一样,不过我们暂且不管,而且认为这几个操作的时间复杂度都是 O(1),先把这道「滑动窗口」问题的解答框架搭出来:

int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
    MonotonicQueue window = new MonotonicQueue();
    List<Integer> res = new ArrayList<>();

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (i < k - 1) {
            //先把窗口的前 k - 1 填满
            window.push(nums[i]);
        } else {
            // 窗口开始向前滑动
            // 移入新元素
            window.push(nums[i]);
            // 将当前窗口中的最大元素记入结果
            res.add(window.max());
            // 移出最后的元素
            window.pop(nums[i - k + 1]);
        }
    }
    // 将 List 类型转化成 int[] 数组作为返回值
    int[] arr = new int[res.size()];
    for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
        arr[i] = res.get(i);
    }
    return arr;
}

这个思路很简单,能理解吧?下面我们开始重头戏,单调队列的实现。

二、实现单调队列数据结构

观察滑动窗口的过程就能发现,实现「单调队列」必须使用一种数据结构支持在头部和尾部进行插入和删除,很明显双链表是满足这个条件的。

「单调队列」的核心思路和「单调栈」类似,push 方法依然在队尾添加元素,但是要把前面比自己小的元素都删掉:

class MonotonicQueue {
// 双链表,支持头部和尾部增删元素
private LinkedList<Integer> q = new LinkedList<>();

public void push(int n) {
    // 将前面小于自己的元素都删除
    while (!q.isEmpty() && q.getLast() < n) {
        q.pollLast();
    }
    q.addLast(n);
}

你可以想象,加入数字的大小代表人的体重,把前面体重不足的都压扁了,直到遇到更大的量级才停住。

如果每个元素被加入时都这样操作,最终单调队列中的元素大小就会保持一个单调递减的顺序,因此我们的 max 方法可以可以这样写:

public int max() {
    // 队头的元素肯定是最大的
    return q.getFirst();
}

pop 方法在队头删除元素 n,也很好写:

public void pop(int n) {
    if (n == q.getFirst()) {
        q.pollFirst();
    }
}

之所以要判断 data.front() == n,是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经被「压扁」了,可能已经不存在了,所以这时候就不用删除了:

至此,单调队列设计完毕,看下完整的解题代码:

/* 单调队列的实现 */
class MonotonicQueue {
    LinkedList<Integer> q = new LinkedList<>();
    public void push(int n) {
        // 将小于 n 的元素全部删除
        while (!q.isEmpty() && q.getLast() < n) {
            q.pollLast();
        }
        // 然后将 n 加入尾部
        q.addLast(n);
    }

    public int max() {
        return q.getFirst();
    }

    public void pop(int n) {
        if (n == q.getFirst()) {
            q.pollFirst();
        }
    }
}

/* 解题函数的实现 */
int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
    MonotonicQueue window = new MonotonicQueue();
    List<Integer> res = new ArrayList<>();

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (i < k - 1) {
            //先填满窗口的前 k - 1
            window.push(nums[i]);
        } else {
            // 窗口向前滑动,加入新数字
            window.push(nums[i]);
            // 记录当前窗口的最大值
            res.add(window.max());
            // 移出旧数字
            window.pop(nums[i - k + 1]);
        }
    }
    // 需要转成 int[] 数组再返回
    int[] arr = new int[res.size()];
    for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
        arr[i] = res.get(i);
    }
    return arr;
}

有一点细节问题不要忽略,在实现 MonotonicQueue 时,我们使用了 Java 的 LinkedList,因为链表结构支持在头部和尾部快速增删元素;而在解法代码中的 res 则使用的 ArrayList 结构,因为后续会按照索引取元素,所以数组结构更合适。

三、算法复杂度分析

读者可能疑惑,push 操作中含有 while 循环,时间复杂度应该不是 O(1) 呀,那么本算法的时间复杂度应该不是线性时间吧?

单独看 push 操作的复杂度确实不是 O(1),但是算法整体的复杂度依然是 O(N) 线性时间。要这样想,nums 中的每个元素最多被 push_backpop_back 一次,没有任何多余操作,所以整体的复杂度还是 O(N)

空间复杂度就很简单了,就是窗口的大小 O(k)

其实我觉得,这种特殊数据结构的设计还是蛮有意思的,你学会单调队列的使用了吗?学会了给个三连?

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