对动态规划发动降维打击

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我们号之前写过十几篇动态规划文章,可以说动态规划技巧对于算法效率的提升非常可观,一般来说都能把指数级和阶乘级时间复杂度的算法优化成 O(N^2),堪称算法界的二向箔,把各路魑魅魍魉统统打成二次元。

但是,动态规划本身也是可以进行阶段性优化的,比如说我们常听说的「状态压缩」技巧,就能够把很多动态规划解法的空间复杂度进一步降低,由 O(N^2) 降低到 O(N),

能够使用状态压缩技巧的动态规划都是二维 dp 问题,你看它的状态转移方程,如果计算状态 dp[i][j] 需要的都是 dp[i][j] 相邻的状态,那么就可以使用状态压缩技巧,将二维的 dp 数组转化成一维,将空间复杂度从 O(N^2) 降低到 O(N)。

什么叫「和 dp[i][j] 相邻的状态」呢,比如前文 最长回文子序列 中,最终的代码如下:

int longestPalindromeSubseq(string s) {
    int n = s.size();
    // dp 数组全部初始化为 0
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    // base case
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dp[i][i] = 1;
    // 反着遍历保证正确的状态转移
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            // 状态转移方程
            if (s[i] == s[j])
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    // 整个 s 的最长回文子串长度
    return dp[0][n - 1];
}

PS:我们本文不探讨如何推状态转移方程,只探讨对二维 DP 问题进行状态压缩的技巧。技巧都是通用的,所以如果你没看过前文,不明白这段代码的逻辑也无妨,完全不会阻碍你学会状态压缩。

你看我们对 dp[i][j] 的更新,其实只依赖于 dp[i+1][j-1], dp[i][j-1], dp[i+1][j] 这三个状态:

这就叫和 dp[i][j] 相邻,反正你计算 dp[i][j] 只需要这三个相邻状态,其实根本不需要那么大一个二维的 dp table 对不对?状态压缩的核心思路就是,将二维数组「投影」到一维数组

思路很直观,但是也有一个明显的问题,图中 dp[i][j-1]dp[i+1][j-1] 这两个状态处在同一列,而一维数组中只能容下一个,那么当我计算 dp[i][j] 时,他俩必然有一个会被另一个覆盖掉,怎么办?

这就是状态压缩的难点,下面就来分析解决这个问题,还是拿「最长回文子序列」问题距离,它的状态转移方程主要逻辑就是如下这段代码:

for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        // 状态转移方程
        if (s[i] == s[j])
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        else
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
    }
}

想把二维 dp 数组压缩成一维,一般来说是把第一个维度,也就是 i 这个维度去掉,只剩下 j 这个维度。压缩后的一维 dp 数组就是之前二维 dp 数组的 dp[i][..] 那一行

我们先将上述代码进行改造,直接无脑去掉 i 这个维度,把 dp 数组变成一维:

for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        // 在这里,一维 dp 数组中的数是什么?
        if (s[i] == s[j])
            dp[j] = dp[j - 1] + 2;
        else
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1]);
    }
}

上述代码的一维 dp 数组只能表示二维 dp 数组的一行 dp[i][..],那我怎么才能得到 dp[i+1][j-1], dp[i][j-1], dp[i+1][j] 这几个必要的的值,进行状态转移呢?

在代码中注释的位置,将要进行状态转移,更新 dp[j],那么我们要来思考两个问题:

1、在对 dp[j] 赋新值之前,dp[j] 对应着二维 dp 数组中的什么位置?

2、dp[j-1] 对应着二维 dp 数组中的什么位置?

对于问题 1,在对 dp[j] 赋新值之前,dp[j] 的值就是外层 for 循环上一次迭代算出来的值,也就是对应二维 dp 数组中 dp[i+1][j] 的位置

对于问题 2,dp[j-1] 的值就是内层 for 循环上一次迭代算出来的值,也就是对应二维 dp 数组中 dp[i][j-1] 的位置

那么问题已经解决了一大半了,只剩下二维 dp 数组中的 dp[i+1][j-1] 这个状态我们不能直接从一维 dp 数组中得到:

for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        if (s[i] == s[j])
            // dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            dp[j] = ?? + 2;
        else
            // dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1]);
    }
}

因为 for 循环遍历 ij 的顺序为从左向右,从下向上,所以可以发现,在更新一维 dp 数组的时候,dp[i+1][j-1] 会被 dp[i][j-1] 覆盖掉,图中标出了这四个位置被遍历到的次序:

那么如果我们想得到 dp[i+1][j-1],就必须在它被覆盖之前用一个临时变量 temp 把它存起来,并把这个变量的值保留到计算 dp[i][j] 的时候。为了达到这个目的,结合上图,我们可以这样写代码:

for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    // 存储 dp[i+1][j-1] 的变量
    int pre = 0;
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        int temp = dp[j];
        if (s[i] == s[j])
            // dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            dp[j] = pre + 2;
        else
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1]);
        // 到下一轮循环,pre 就是 dp[i+1][j-1] 了
        pre = temp;
    }
}

别小看这段代码,这是一维 dp 最精妙的地方,会者不难,难者不会。为了清晰起见,我用具体的数值来拆解这个逻辑:

假设现在 i = 5, j = 7s[5] == s[7],那么现在会进入下面这个逻辑对吧:

if (s[5] == s[7])
    // dp[5][7] = dp[i+1][j-1] + 2;
    dp[7] = pre + 2;

我问你这个 pre 变量是什么?是内层 for 循环上一次迭代的 temp 值。

那我再问你内层 for 循环上一次迭代的 temp 值是什么?是 dp[j-1] 也就是 dp[6],但这是外层 for 循环上一次迭代对应的 dp[6],也就是二维 dp 数组中的 dp[i+1][6] = dp[6][6]

也就是说,pre 变量就是 dp[i+1][j-1] = dp[6][6],也就是我们想要的结果。

那么现在我们成功对状态转移方程进行了降维打击,算是最硬的的骨头啃掉了,但注意到我们还有 base case 要处理呀:

// dp 数组全部初始化为 0
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
// base case
for (int i = 0; i < n; i++)
    dp[i][i] = 1;

如何把 base case 也打成一维呢?很简单,记住状态压缩就是投影,我们把 base case 投影到一维看看:

二维 dp 数组中的 base case 全都落入了一维 dp 数组,不存在冲突和覆盖,所以说我们直接这样写代码就行了:

// 一维 dp 数组全部初始化为 1
vector<int> dp(n, 1);

至此,我们把 base case 和状态转移方程都进行了降维,实际上已经写出完整代码了:

int longestPalindromeSubseq(string s) {
    int n = s.size();
    // base case:一维 dp 数组全部初始化为 0
    vector<int> dp(n, 1);

    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        int pre = 0;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            int temp = dp[j];
            // 状态转移方程
            if (s[i] == s[j])
                dp[j] = pre + 2;
            else
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - 1]);
            pre = temp;
        }
    }
    return dp[n - 1];
}

本文就结束了,不过状态压缩技巧再牛逼,也是基于常规动态规划思路之上的。

你也看到了,使用状态压缩技巧对二维 dp 数组进行降维打击之后,解法代码的可读性变得非常差了,如果直接看这种解法,任何人都是一脸懵逼的。算法的优化就是这么一个过程,先写出可读性很好的暴力递归算法,然后尝试运用动态规划技巧优化重叠子问题,最后尝试用状态压缩技巧优化空间复杂度。

也就是说,你最起码能够熟练运用我们前文 动态规划框架套路详解 的套路找出状态转移方程,写出一个正确的动态规划解法,然后才有可能观察状态转移的情况,分析是否可能使用状态压缩技巧来优化。

希望读者能够稳扎稳打,层层递进,对于这种比较极限的优化,不做也罢。毕竟套路存于心,走遍天下都不怕!

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